2005　上智大学　理工(数・物・電)学部2月12日実施MathJax

【１】

(1)　$y=e^{\frac{1}{2}x}(x^2-2x-11)$は$x=\boxed{\text{ア}}$で極大値をとり，$x=\boxed{\text{イ}}$で極小値をとる．

【１】

(2)　

$\mathrm{A}=\{x|\sin x>0\}\text{，}\mathrm{B}=\{x|x{e}^x\leqq 3\}\text{，}\mathrm{C}=\{x|x^2\leqq 1\}$

とするとき，

$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\boxed{\text{あ}}\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\text{，}1.05\boxed{\text{い}}\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}\boxed{\text{う}}\mathrm{C}$

が成り立つ．

$\boxed{\text{あ}}$から$\boxed{\text{う}}$の選択肢：

【１】

(3)　

$F(a)={\displaystyle {\int }_1^e}|\log x-a|dx$

とする．$F(1)=\boxed{\text{ウ}}e+\boxed{\text{エ}}$である．また，$F$が最小値をとるのは$a=\boxed{\text{え}}$のときである．

$\boxed{\text{え}}$の選択肢：

【２】　$xyz$空間の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(6,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3,0)\text{，}\mathrm{C}(0,3,3)$を頂点とする三角錐$\mathrm{OABC}$を考える．$0<a<3$のとき，平面$y=a$による三角錐$\mathrm{OABC}$の断面の面積は

$\boxed{\text{オ}}{a}^2+\boxed{\text{カ}}a$

である．また，三角錐$\mathrm{OABC}$を$y$軸の周りに回転してできる回転体$V$の体積は$\boxed{\text{キ}}\pi$である．

　回転体$V$の$xy$平面による断面は，双曲線

$H:x^2=\boxed{\text{ク}}{y}^2+\boxed{\text{ケ}}y+\boxed{\text{コ}}$

と$2$直線$y=0\text{，}y=3$とで囲まれる図形であり，$H$の漸近線は，

$x=\pm \sqrt{\boxed{\text{サ}}}(y+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}})$

で表される$2$直線である．

【３】　$2\times 2$行列$A\text{，}B$が，

$AB=\left(\begin{array}{cc}11& 1\\ 12& 3\end{array}\right)\text{，}BA=\left(\begin{array}{cc}9& x\\ 8& y\end{array}\right)$

を満たしている．

(1)　

${(BA)}^2+\boxed{\text{セ}}(BA)+\boxed{\text{ソ}}E=O$

が成り立つ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．これから，$x=\boxed{\text{タ}}\text{，}y=\boxed{\text{チ}}$がわかる．

(2)　$n\geqq 1$に対して

${(AB)}^{n+2}-{(BA)}^{n+2}=\boxed{\text{ツ}}({(AB)}^{n+1}-{(BA)}^{n+1})+\boxed{\text{テ}}({(AB)}^n-{(BA)}^n)$

が成り立つ．

(3)　

${(AB)}^3-{(BA)}^3=175\times \left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ト}}& \boxed{\text{ナ}}\\ \boxed{\text{ニ}}& \boxed{\text{ヌ}}\end{array}\right)$

である．

(4)　$A\text{，}B$の成分は負でない整数とする．また，$A$の対角成分は等しいとする．行列の積に関する結合則$(AB)A=A(BA)$を用いることで，

$A=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ネ}}& \boxed{\text{ノ}}\\ \boxed{\text{ハ}}& \boxed{\text{ネ}}\end{array}\right)$

がわかる．よって，

$B=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ヒ}}& \boxed{\text{フ}}\\ \boxed{\text{ヘ}}& \boxed{\text{ホ}}\end{array}\right)$

となる．

【４】　図のように，一辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{ABCD}$の内部に，一辺の長さが$4$の正三角形$\mathrm{PQR}$が接している．ただし，$a>4$とする．はじめ，頂点$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$とが重なり，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AB}$上にある．この時点を$t=0$とする．$\mathrm{PQR}$を頂点$\mathrm{Q}$を中心として時計回りに，$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{AB}$あるいは右隣の辺$\mathrm{BC}$上に来るまで回転させる．この操作が終わった時点を$t=1$とする．次に$\mathrm{PQR}$を$\mathrm{R}$を中心として時計回りに，$\mathrm{P}$が$\mathrm{R}$の乗っている辺あるいはその右隣の辺の上に来るまで回転させる．この操作が終わった時点を$t=2$とする．

　以下同様にして，$\mathrm{PQR}$を$\mathrm{ABCD}$の内側に接しながら転がしていく．

(1)　$t=5$で正三角形$\mathrm{PQR}$のいずれかの頂点が$\mathrm{A}$に戻るのは，$a=\boxed{\text{マ}}+\boxed{\text{ミ}}\sqrt{\boxed{\text{ム}}}$のときである．このとき，$t=0$から$t=5$までの間に頂点$\mathrm{R}$の描く軌跡の長さは$\boxed{\text{メ}}\pi$である．

(2)　$t=6$で正三角形$\mathrm{PQR}$のいずれかの頂点が$\mathrm{A}$に戻るのは，$a\boxed{\text{モ}}+\boxed{\text{ヤ}}\sqrt{\boxed{\text{ユ}}}+\boxed{\text{ヨ}}\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}$のときである．ただし$\boxed{\text{ユ}}<\boxed{\text{ラ}}$とする．

(3)　$t=4$で正三角形$\mathrm{PQR}$のいずれかの頂点が$\mathrm{A}$に戻るとすると，

$a^2+(\boxed{\text{リ}}+\boxed{\text{ル}}\sqrt{\boxed{\text{レ}}})a+\boxed{\text{ロ}}=0$

が成り立つ．

【１】　$xy$平面上の$4$点$\mathrm{A}(2,2)\text{，}\mathrm{B}(-2,2)\text{，}\mathrm{C}(-2,-2)\text{，}\mathrm{D}(2,-2)$を頂点とする正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．

(1)　$\mathrm{ABCD}$の内部で，$\mathrm{ABCD}$のどの辺への距離よりも原点$\mathrm{O}$への距離が小さいような点$\mathrm{P}$の存在範囲を図示せよ．

(2)　上で求めた点$\mathrm{P}$の存在範囲の面積を求めよ．