2005　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を正の定数とし，$x\text{，}y$が

$axy-bx-cy=0\text{，}x>0\text{，}y>0$

を満たすとき，$x+y$の最小値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$\tan {\theta }_1=1\text{，}\tan {\theta }_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}\tan {\theta }_3={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}0<{\theta }_i<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$とするとき，$\sin ({\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_2)$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　実数$a\text{，}b$を用いて${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{1-i}}\right)}^{2005}=a+bi$とするとき，$a$の値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，$b$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　初めは原点にある動点$\mathrm{P}$の$t$秒後の座標$(x(t),y(t))$が

$x(t)=e^t\cos t-1\text{，}y(t)=e^t\sin t$

で与えられるとする．$\mathrm{P}$が$2$度目に$x$軸の正の部分に到達するまでに$\mathrm{P}$が動く道のりは$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　$a$は$0<a<1$を満たす定数とする．直線$y=a$と曲線$y=\left|{\displaystyle \frac{x}{x+1}}\right|$によって囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は，$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$とおくとき，

$A\left(\begin{array}{cc}1& 2\sqrt{3}\\ 2\sqrt{3}& 5\end{array}\right)A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$かつ$A{A}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

を満たすとする．

(1)　行列$A$を求めよ．

(2)　$\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$とおくとき，$x^2+y^2=s^2+t^2$であることを示せ．

(3)　$f(x,y)=(\begin{array}{cc}x& y\end{array})\left(\begin{array}{cc}1& 2\sqrt{3}\\ 2\sqrt{3}& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$とする．実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2=1$を満たしながら動くとき，$f(x,y)$の最大値を求めよ．

【４】　$a$を$2$以上の自然数とする．長さ$a$の線分$\mathrm{AB}$を数直線上で移動させる次のようなゲームを考える．さいころを投げて出た目が$2$以下ならば正の方向（右）へ$1$だけ，そうでなければ負の方向（左）へ$1$だけ，線分を移動させる．これを繰り返して，どちらかの端点が原点$\mathrm{O}$に到達したときゲームは終了する．

　$n$を$0<n<a$を満たす自然数とする．線分の左端$\mathrm{A}$が初めは座標$-n$の位置にあり，$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$に到達してゲームが終了する確率を$p_n$とする．また，$p_0=1\text{，}{p}_a=0$とする．

(1)　$p_n$を$p_{n-1}$と$p_{n+1}$を用いて表せ．

(2)　確率$p_n$を求めよ．