2005　南山大　数理情報Ａ2月7日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$1$つのさいころを$2$回続けて投げるとき，少なくとも$1$回は$6$の目がでる確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，出る目の和が$3$の倍数になる確率は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0°\leqq x\leqq 360°$のとき，$\sin (x+45°)+\cos (x+15°)$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$a$を$2$より大きな定数とする．$0\leqq x\leqq 1$のとき，

$a^{-{\log }_{\frac{1}{a}}(|x^2-ax|+2)}$

の最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{a_n+2}}$を満たす数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$がある．第$n$項が${\displaystyle \frac{1}{a_n}}$である数列を考えることにより$\{a_n\}$の一般項を求めると，$a_n=\boxed{\text{オ}}$である．また，$b_1=2\text{，}{b}_{n+1}=2{b_n}^2$を満たす数列$\{b_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　座標平面上に放物線$C:y={(x-a)}^2+1-a$と直線$l:y=bx$があり，$C$と$l$は接している．ただし，$a$と$b$は定数であり，$b>-2a$を満たす．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　$C$と$l$の接点の$x$座標を$\beta$とおくとき，$\beta$を$\alpha$で表せ．

(3)　$C$と$l$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とする．(2)の$\beta$に対して，$S={\displaystyle {\int }_0^{\beta }}{(x-\beta )}^{2}dx$であることを示せ．

(4)　(3)の$S$を最小にする$a$の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードの入った袋がある．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人が，この袋の中からカードを$1$枚ずつ，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の順に取り出す（取り出したカードはもとに戻さない）．各人が取り出した$2$枚のカードに書いてある数字の和が各人の得点になる．$\mathrm{B}$の得点が$5$となる確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，$\mathrm{A}$の得点の期待値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は次の関係式を満たす．

$a_1=0\text{，}{a}_2=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}{a}_{n+2}=\pi {\displaystyle {\int }_{a_n}^{a_{n+1}}}\sin t\cos tdt$

　このとき，$a_4=\boxed{\text{ウ}}$であり，$a_{50}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$2$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{P}(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cos t+{\displaystyle \frac{4}{5}}\sin t,y\left(t\right),1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cos t+{\displaystyle \frac{4}{5}}\sin t)$があり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が直交するように$\mathrm{P}$は動く．ただし，$0\leqq t\leqq 2\pi$である．このとき，$y\left(t\right)=\boxed{\text{オ}}$であり，$\mathrm{P}$と$xy$平面の距離の最小値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　次のように定積分で定義された数列$\{a_n\}$を考える．

$a_n={(-1)}^n{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{2n}}{1+x^2}}dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_1$を計算せよ．

(2)　$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$の一般項$b_n=a_{n+1}-a_n$を計算せよ．

(3)　$|a_n|<{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{2n}dx$であることを示せ．

(4)　$a_n={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}$であることを示せ．

(5)　無限級数${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}$の和$S$を求めよ．