2005　南山大　数理情報学部2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$\sqrt{18-8\sqrt{2}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．$b$の値を$2$重根号を用いずに表すと$b=\boxed{\text{ア}}$であり，$ab-{\displaystyle \frac{a}{b}}$の値を求めると$ab-{\displaystyle \frac{a}{b}}=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$2$つの行列$A=(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array})\text{，}B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$を考える．このとき，$A{B}^2$を求めると$\boxed{\text{ウ}}$であり，$A{B}^7$を求めると$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{x}{8}}-{\displaystyle \frac{\sin 4x}{32}}$を$x$で微分した関数を$g(x)$とする．このとき，$t=\sin x$とおいて$g(x)$を$t$の$4$次式で表すと$g(x)=\boxed{\text{オ}}$である．さらに，方程式$g(x)=0$を$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で解くと$x=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　実数$r$により，数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\{{}_{n}C_0(1+1)+{}_{n}C_1(1+r)+{}_{n}C_2(1+r^2)$$+\cdots +{}_{n}C_n(1+r^n)\}$

で定義する．ここで，${}_{n}C_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$は二項係数である．$r=1$のとき，$a_n$の値を求めると$\boxed{\text{キ}}$であり，$r\ne 1$のとき$\{a_n\}$が収束する$r$の値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$n$は$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号のついた$n$個の袋があり，それぞれの袋に赤球と白球を入れていく．番号$r$の袋に入れる赤球の数は$(r-1)$個，白球の数は$(n-r)$個である．このようにすべての袋に球を入れ終わったあとで，でたらめに選んだ$1$つの袋から$1$球ずつ$2$回球を取り出すとする．ただし，取り出した球はもとに戻さない．このとき，$1$回目が赤球である確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$1$回目も$2$回目もともに赤球である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(-1,1,-1)\text{，}\mathrm{B}(0,2,1)\text{，}\mathrm{P}(5,5,-1)$と$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$がある．$l_1$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を通る直線であり，$l_2$上の任意の点の座標は，媒介変数$t$を用いて$(t,t+1,1)$で表される．

(1)　$x$座標が$s$である$l_1$上の点の$y$座標と$z$座標を$s$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$と$l_2$上の点$\mathrm{Q}(k,k+1,1)$を通る直線を$g$とする．$z$座標が$2u-1$である$g$上の点の$x$座標および$y$座標を$u$と$k$で表せ．

(3)　(2)の$g$が$l_1$と交わっているとき，$g$と$l_1$の交点$\mathrm{R}$の座標および(2)の$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　関数$f(x)=-3x^2+2\log (x+1)$がある．座標平面上の曲線$C:y=f(x)$と$x$軸は$2$点$(0,0)\text{，}(a,0)$で交わる．ただし，$0<a<1$である．

(1)　$f(1)$と$0$の大小を比較せよ．

(2)　$f(x)$の導関数および不定積分を計算せよ．

(3)　$0<x\leqq 1$のとき，不等式$f(x)<2x^3-4x^2+2x<1$が成立することを示せ．

(4)　$C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とおくとき，$S$と$a$の大小を比較せよ．