2005　同志社大　神，文化情報，商2月6日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$ に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$ の中に記入せよ．

　数列$\{a_n\}$は定数$c$に対して

$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=c(n=1，2，3，\cdots )$

という関係をみたし，$a_1=-3，a_2=-14，a_3=-23$であるとする．このとき$c=\boxed{\text{ア}}$であり，$a_4=\boxed{\text{イ}}$である．数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n(n=1，2，3，\cdots )$で定義すると，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{ウ}}$となるから，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{エ}}$となる．これより，$a_n$が最小となるのは$n=\boxed{\text{オ}}$のときであり，このとき$a_n=\boxed{\text{カ}}$である．また，$a_n>0$となるのは，$n\geqq \boxed{\text{キ}}$のときである．第$1$項から第$n$項までの和は$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=\boxed{\text{ク}}$である．$S_n\geqq 1000$となる最小の$n$は$\boxed{\text{ケ}}$であり，このとき$S_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　数字$1$が記入してあるカードが$1$枚，数字$2$が記入してあるカードが$2$枚，数字$3$が記入してあるカードが$3$枚，数字$4$が記入してあるカードが$4$枚ある．これら合計$10$枚のカードをよくきってから，$3$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．

(1)　引かれたカードに記入してある数の和が$3$で割り切れる確率を求めよ．

(2)　引かれたカードに記入してある数の和を$3$で割った余りの期待値を求めよ．

【３】　$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$について次の問いに答えよ．ただし，$a，b$は定数とする．

(1)　任意の実数$p，q，r$について，不等式

$f\left({\displaystyle \frac{p+q+r}{3}}\right)\leqq {\displaystyle \frac{f(p)+f(q)+f(r)}{3}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　任意の実数$p，q$と$0\leqq t\leqq 1$をみたす実数$t$について，不等式

$f((1-t)p+tq)\leqq (1-t)f(p)+tf(q)$

が成り立つことを示せ．

(3)　定数$p，q$が$p\ne q$をみたすとき，定義域が$0\leqq t\leqq 1$である関数

$g(t)=(1-t)f(p)+tf(q)-f((1-t)p+tq)$

の最大値を$p，q$を用いて表せ．また，そのときの$t$の値を求めよ．