2005　関西大　工学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】　$a$を$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とし，

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t-a)\sin tdt(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi )$

とおく．

(1)　$F(x)$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$における最大値と最小値をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた最大値と最小値の積を最小にする$a$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　次の$\boxed{}$をうめよ．

(ア)　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$を原点を中心として反時計まわりに${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転した点を$\mathrm{Q}(X,Y)$とする．点$\mathrm{Q}$の極座標を$(r,\theta )$とすると，点$\mathrm{P}$の極座標は$(r,\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$と表される．

　$x\text{，}y$を$X\text{，}Y$を用いて表すと

$x=\boxed{\text{①}}\text{，}y=\boxed{\text{②}}$

となる．

（イ)　点$\mathrm{P}(x,y)$の座標が

$3x^2-6xy+3y^3-2\sqrt{2}x+5\sqrt{2}y=16$

を満たすとき，$\mathrm{P}(x,y)$を原点を中心として反時計まわりに${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転した点$\mathrm{Q}(X,Y)$の座標は$Y=A{X}^2+BX+C$を満たす．ただし，$A\text{，}B\text{，}C$は定数である．

　このとき，$A=\boxed{\text{③}}\text{，}B=\boxed{\text{④}}\text{，}C=\boxed{\text{⑤}}$である．

(2)　曲線$3x^3-6xy+3y^3-2\sqrt{2}x+5\sqrt{2}y=16\text{，}$半直線$y=x\text{（}x\geqq 0\text{），}$および$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$1$から$9$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ，合わせて$9$枚のカードがある．この中から同時に$3$枚のカードを抜き出す．

　抜き出したカードに書かれている$3$つの数字について，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　数字の積が$5$の倍数である確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　数字の積が偶数である確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　数字の和が偶数である確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　最大の数字が$7$である確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　数字の積が$10$の倍数である確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　不等式

$2\cdot 4^{x+1}-2^{x+1}-1<0$

の解は$\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　座標平面上で，始点が原点であるベクトル$\overrightarrow{a}=({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}})$を原点を中心に正の方向に$90°$回転したベクトルを$\overrightarrow{b}$とする．このとき

$({\displaystyle \frac{7}{\sqrt{5}}},-{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{5}}})=\boxed{\text{②}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{③}}\overrightarrow{b}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$x\text{，}y$は実数で$3x^2+2y^2=-2x$を満たすとき，$x^2+y^2$の最大値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　複素数${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}}\right)}^8$の実部は$\boxed{\text{⑤}}\text{，}$虚部は$\boxed{\text{⑥}}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$\left(\begin{array}{cc}a& 3\\ 3& 1\end{array}\right)$の逆行列が$\left(\begin{array}{cc}1& x\\ b& y\end{array}\right)$であるとき，$y=\boxed{\text{⑦}}\text{，}y=\boxed{\text{⑧}}$である．