2005　関西大　工学部Ｓ方式2月6日実施MathJax

【１】　正の定数$a$に対して，$f(x)=a{x}^2+(1-2a)x-2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$1$以外の$x$に対して，${\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=f^{\prime }(c)$を満たす$c$がただ$1$つ存在する．この$c$を$x$を用いて表せ．

(2)　$1$以外の$x$に対して，(1)で定まる$c$を対応させる関数を$g(x)$とする．$g(x)$が$x=1$において連続になるように$g(1)$の値を定めよ．

(3)　上で定義された$f(x)$と$g(x)$の合成関数$h(x)=f(g(x))$を考える．$h(x)=0$の相異なる実数解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とし，$S(a)={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}|h(x)|dx$とおく．

　$S(a)$を$a$を用いて表せ．また，$a>0$のとき，$S(a)$の値が最も小さくなるような$a$の値を求めよ．

【２】　$a_1=1\text{，}{a}_n={\displaystyle \frac{a_{n-1}}{(2n-1)a_{n-1}+1}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$がある．

(1)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_1{a}_n}}+\frac{1}{\sqrt{a_2{a}_{n-1}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{a_k{a}_{n-k+1}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{a_n{a}_1}}}$を$n$を用いて表せ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{b_n}}$の和の値を求めよ．

【３】　直線上に赤，白，黒の$3$球が置かれている．さいころを振って

• $1$が出たら赤球を右に，$2$が出たら赤球を左に，
• $3$が出たら白球を右に，$4$が出たら白球を左に，
• $5$が出たら黒球を右に，$6$が出たら黒球を左に，

それぞれ$1$だけ移動させる試行を繰り返す．

　最初に$3$球はともに原点にあるとする．そして，$n$回の試行の後にまた$3$球がともに原点にあるという事象を$E_n$で表す．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$E_2$が起こる確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$E_2$が起こり，かつ$E_4$が起こる確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$4$回の試行のうち，赤球，白球が$1$回ずつ右に移動し，$E_4$が起こる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$4$回の試行のうち，赤球が$2$回右に移動し，$E_4$が起こる確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$E_4$が起こる確率は$\boxed{\text{⑥}}$である．

(6)　$4$回の試行の後，はじめて$3$球がともに原点にそろう確率は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$(1-i)a^2+a-b(1+i)=0$を満たす実数の組$(a,b)$は$(0,0)$と$(\boxed{\text{①}},\boxed{\text{②}})$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}(1,1,4)\text{，}\mathrm{B}(2,1,5)\text{，}\mathrm{C}(3,-1,8)$がある．このとき，

$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{③}}°\text{，}▵\mathrm{ABC}\text{の面積}=\boxed{\text{④}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(3)　複素数$z$が$z^2={\displaystyle \frac{7+\sqrt{15}i}{\bar{z}}}$を満たすならば，$z$の実部は$\boxed{\text{⑤}}\text{，}$虚部は$\boxed{\text{⑥}}$である．ただし，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{a\sqrt{x+7}+b}{x-2}}=1$が成立するならば，$a=\boxed{\text{⑦}}\text{，}b=\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$f\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{1+2t^2}}dt$とするとき，合成関数$f\left({\displaystyle \frac{\tan x}{\sqrt{2}}}\right)$の導関数は$x$によらない定数となる．この定数の値は$\boxed{\text{⑨}}$である．