2005　関西大　後期B日程総合情報学部3月2日実施MathJax

【１】　$z$は複素数で次の条件(ア)を満たしている．

(ア)　$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$は（実数で）整数である．

　このとき，次の主張(1)，(2)はそれぞれ正しいか否か，理由をつけて答えよ．

(1)　$z$が虚数なら，$z$は$i$または$-i$である．

(2)　$z$が実数なら，$z$は$1$または$-1$である．

【２】　次の不等式の表す領域を決定し図示せよ．

${\{{\log }_y(x^2)\}}^2+{\log }_y(x^2)\geqq 2$

【３】　$f(x)$は$3$次式で，

$f^{\prime }(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )\text{（}a>0\text{，}\alpha <\beta \text{）}$

とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　

• $f(x)-f(\alpha )={\displaystyle \frac{a}{6}}{(x-\alpha )}^2\times (\boxed{\text{①}})$
• $f(x)-f(\beta )={\displaystyle \frac{a}{6}}{(x-\beta )}^2\times (\boxed{\text{②}})$

(2)　$x\ne \alpha$のとき

• $f(x)=f(\alpha )⟺x=\boxed{\text{③}}$
• $f(x>f\alpha )⟺\boxed{\text{④}}$

(3)　$x\ne \beta$のとき

• $f(x)=f(\beta )⟺x=\boxed{\text{⑤}}$
• $f(x)<f(\beta )⟺\boxed{\text{⑥}}$

(4)　以上から，$y=f(x)\text{（}b\leqq x\leqq c\text{）}$が最大値，最小値をとる$x$の値は，極値や$f(b)\text{，}f(c)$を実際に計算して比較しなくてもわかる．

　例えば，

$y=x^3+12x^2+3x+7\text{（}-12\leqq x\leqq 4\text{）}$

は，$x=\boxed{\text{⑦}}$で最大値，$x=\boxed{\text{⑧}}$で最小値をとる．

【４】　コイン$1$枚とサイコロ$1$個を用いて次のような試行を行う．

• (ア)　第$1$回めの試行：サイコロを投げて出た目の数が$3$の倍数ならコインの表を出し，$3$の倍数でなければコインの裏を出して置く．
• (イ)　第$n$回め（$n\geqq 2$）の試行：サイコロを投げて$1$の目が出たら（第$n-1$回めの試行終了時の状態にある）コインを裏返す（すなわち，表なら裏，裏なら表にする）．$1$以外の目が出たらコインをそのままの状態に保つ．

　第$n$回めの試行終了時にコインが表であるという事象を${\mathrm{A}}_n\text{，}$その余事象を$\overline{{\mathrm{A}}_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で表す．一般に，事象$\mathrm{A}$の起こる確率を$P(\mathrm{A})$と書くこととして，

$p_n=P({\mathrm{A}}_n)\text{，}{q}_n=P({\mathrm{A}}_1\cap {\mathrm{A}}_n)$

とおく．特に，$p_1=q_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

　次の$\boxed{}$を分数または$n$の式でうめよ．

(1)　$p_2=\boxed{\text{①}}\text{，}{q}_2=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$n\geqq 2$のとき，

• $P({\mathrm{A}}_n)=\boxed{\text{③}}P({\mathrm{A}}_{n-1})+\boxed{\text{④}}P(\overline{{\mathrm{A}}_{n-1}})$
• $P({\mathrm{A}}_1\cap {\mathrm{A}}_n)=\boxed{\text{⑤}}P({\mathrm{A}}_1\cap {\mathrm{A}}_{n-1})+\boxed{\text{④}}P({\mathrm{A}}_1\cap \overline{{\mathrm{A}}_{n-1}})$

が成り立つ．

(3)　$P({\mathrm{A}}_{n-1})+P(\overline{{\mathrm{A}}_{n-1}})=1$であるから，

$(p_n-\boxed{\text{⑤}})=\boxed{\text{⑥}}(p_{n-1}-\boxed{\text{⑤}})$

が成り立ち，$p_n=\boxed{\text{⑦}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$である．

(4)　$P({\mathrm{A}}_1\cap {\mathrm{A}}_{n-1})+P({\mathrm{A}}_1\cap \overline{{\mathrm{A}}_{n-1}})=\boxed{\text{⑧}}$であるから，

$q_n=\boxed{\text{⑨}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．したがって，${\displaystyle \frac{q_n}{p_n}}=\boxed{\text{⑩}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$である．