2005　関西学院大　商学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$1$でない整数$d$を公差とする等差数列$\{a_n\}$に対し，次の和を定義する．

• $G_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{2k}=a_2+a_4+\cdots +a_{2n}$
• $K_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{2k-1}=a_1+a_3+\cdots a_{2n-1}$

これらは$a_1\text{，}d\text{，}n$を用いて，$G_n=\boxed{\text{（ア）}}\text{，}{K}_n=\boxed{\text{（イ）}}$と表せる．さらに，${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{(-1)}^k{a}_k$を$d\text{，}n$を用いて表すと，$\boxed{\text{（ウ）}}$となる．$2$以上の整数$m$に対して$G_m=350\text{，}{K}_m=301$となるとき，$a_1=\boxed{\text{（エ）}}\text{，}d=\boxed{\text{（オ）}}\text{，}m=\boxed{\text{（カ）}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　赤，白の$2$色の番号札が$10$枚ずつ計$20$枚ある．各色の番号札には，それぞれ$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書いてある．この$20$枚の番号札を一列に並べる並べ方は$\boxed{\text{（キ）}}!$通りある．この$20$枚の番号札を無作為に一列に並べたとき，先頭が$1$の番号札となる確率は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{（ク）}}}}$であり，先頭から$1$の番号札が$2$枚続く確率は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{（ケ）}}}}$である．また，この$20$枚の番号札から無作為に$2$枚のカードを同時に選んだとき，少なくとも$1$枚は$1$の番号札である確率は$\boxed{\text{（コ）}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(6,2)\text{，}\mathrm{B}(1,3)$に対して，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定める．

(1)　$s\text{，}t$が$s+t=1$の条件を満たしながら変化するとき，$\mathrm{C}$が描く図形は傾き$\boxed{\text{（ア）}}$の直線であり，$x$軸と$(\boxed{\text{（イ）}},0)$で交わる．

(2)　$s\text{，}t$が$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}0\leqq s+t\leqq 1$の条件を満たしながら変化するとき，$\mathrm{C}$の存在する領域の面積は$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

(3) 　$s\text{，}t$が$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}1\leqq 2s+t\leqq 2$の条件を満たしながら変化するとき，$\mathrm{C}$の存在する領域を$F$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=2s\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$より，$F$に属する点のうち$y$座標が最大となる点は$(\boxed{\text{（エ）}},\boxed{\text{（オ）}})$であり，$y$座標が最小となる点は$(\boxed{\text{（カ）}},\boxed{\text{（キ）}})$である．$F$の面積は$\boxed{\text{（ク）}}$である．

(4)　$F$に属する$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$（$\mathrm{P}=\mathrm{Q}$でもよい）について，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最大値は$\boxed{\text{（ケ）}}$であり，最小値は$\boxed{\text{（コ）}}$である．

【３】　$xy$平面において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{4}}+2\\ y\geqq x\\ 0\leqq x\leqq 6\end{array}$

の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示し，$D$の面積を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 6$を満たす$t$に対して，直線$x=t$のうち$D$に含まれる部分の長さを$h(t)$とし，$V(t)=(6-|t-4|)h(t)$とする．$t$が$0\leqq t\leqq 6$の範囲で変化するとき，$V(t)$の最大値と最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．