2006　北海道大学　前期MathJax

【１】　$b$は実数とし，$c$は$0$でない実数とする．$2$次方程式$x^2+bx+c=0$の解を $\alpha \text{，}\beta$とおく．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$はともに$0$でないことを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$または${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$が実数$r$に等しいとき，$b^2$を$c$と$r$を用いて表せ．

【２】　空間の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の原点$\mathrm{O}$を基点とする位置ベクトルが

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2\cos t,2\sin t,1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(\mathrm{-}\sin 3t,\cos 3t,-1)$

によって与えられている．ただし， $-180°\leqq t\leqq 180°$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離が最小となる$t$と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$0°$以上$90°$以下となる$t$の範囲を求めよ．

【３】　実数$p$に対して$3$次方程式

$4x^3-12x^2+9x-p=0\cdots \text{①}$

を考える．

(1)　関数$f(x)=4x^3-12x^2+9x$の極値を求めて，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　方程式$\text{①}$の実数解のなかで$0\leqq x\leqq 1$の範囲にあるものがただひとつであるための$p$の条件を求めよ．

【４】　$1$つのさいころを投げ続けて，同じ目が$2$回連続して出たら終了するものとする．

(1)　ちょうど$3$回目に終了する確率を求めよ．

(2)　$3$回目以内（$3$回目も含む）に終了する確率を求めよ．

(3)　ちょうど$r$回目に終了する確率を求めよ．ただし$r\geqq 2$とする．

【１】　実数$x\text{，}y\text{，}z$は$x\leqq y\leqq z\leqq 1$かつ$4x+3y+2z=1$をみたすとする．

(1)　$x$の最大値と$y$の最小値を求めよ．

(2)　$3x-y+z$の値の範囲を求めよ．

【２】　空間内に，$3$点${\mathrm{A}}_0(1,0,0)\text{，}{\mathrm{A}}_1(1,1,0)\text{，}{\mathrm{A}}_2(1,0,1)$を通る平面$\alpha$と，$3$点${\mathrm{B}}_0(2,0,0)\text{，}{\mathrm{B}}_1(2,1,0)\text{，}{\mathrm{B}}_2({\displaystyle \frac{5}{2}},0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$を通る平面$\beta$を考える．

(1)　空間の基本ベクトルを$\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)\text{，}\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)\text{，}\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)$とおくとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_2}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_0}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{B}}_0{\mathrm{B}}_1}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{B}}_0{\mathrm{B}}_2}$を$\overrightarrow{e_1}\text{，}\overrightarrow{e_2}\text{，}\overrightarrow{e_3}$で表せ．ただし，$\mathrm{O}$は空間の原点を表す．

(2)　原点$\mathrm{O}$と$\alpha$上の点$\mathrm{P}$を通る直線が$\beta$上の点${\mathrm{P}}^{\prime }$も通っているとする．

• $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_0}+a\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1}+b\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_2}$
• $\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}=\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_0}+p\overrightarrow{{\mathrm{B}}_0{\mathrm{B}}_1}+q\overrightarrow{{\mathrm{B}}_0{\mathrm{B}}_2}$

とおくとき，$a\text{，}b$を$p\text{，}q$で表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$\alpha$上の点${\mathrm{A}}_0$を中心とする半径$1$の円$C$の円周上を動くとき，点${\mathrm{P}}^{\prime }$が動いてできる図形$C^{\prime }$の方程式を(2)の$p\text{，}q$で表し，$C^{\prime }$が楕円であることを示せ．

【３】　$y$軸上の$2$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,2)$と$x$軸上の正の部分を動く点$\mathrm{P}(a,0)$を考える．$\theta =\angle \mathrm{APB}$とおく．

(1)　$\cos \theta$を$a$で表せ．

(2)　$\theta$が最大になる$a$を求めよ．

【４】(1)　整数$m\text{，}n$に対して積分$I_{m,n}={{\displaystyle \int }}_0^{2\pi }\cos mx\cos nxdx$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して積分$J_n={{\displaystyle \int }}_0^{2\pi }({\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sqrt{k}\cos kx{)}^{2}dx$を求めよ．

【５】　$1$つのさいころを投げ続けて，同じ目が$2$回連続して出たら終了するものとする．

(1)　$4$回目以内（$4$回目も含む）に終了する確率を求めよ．

(2)　$r$回目以内（$r$回目も含む）に終了する確率を求めよ．ただし$r\geqq 2$とする．