2006　室蘭工業大学　前期

【１】　$a$を実数の定数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=x^3+a{x}^2+a+2$

と定める．また，曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)　曲線$C$の接線で原点$(0,0)$を通るものが唯一であるための$a$の範囲を求めよ．また，そのときの接線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　(1)の条件のもとで，曲線$C\text{，}$接線$l$および直線$x=0$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)\text{，}g(x)$は次の関係式

$f(x)=e^x(1+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{g}^{\prime }(t)\sin tdt)\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)e^{-t}dt$

を満たす．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)　$a={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{g}^{\prime }(t)\sin tdt$とおくとき，$a=0$となることを示せ．

(2)　$h(x)=f(x)g(x)$とする．$h(x)$の最小値を求めよ．

【３】　$r$は実数の定数とし，$r\ne 1$とする．数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は初項が$a_1=1\text{，}{b}_1=0$で，すべての正の整数$n$に対して次の関係式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{r}{2}{a}_n-\frac{r}{2}{b}_n}\text{，}{b}_{n+1}=(1-{\displaystyle \frac{r}{2}})a_n+(1+{\displaystyle \frac{r}{2}})b_n$

を満たす．

(1)　$v_n=a_n+b_n$とする．数列$\{v_n\}$の第$n$項を求めよ．

(2)　$w_n=a_n-b_n$とする．数列$\{w_n\}$の第$n$項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の第$n$項をそれぞれ求めよ．

【４】　平面上の異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$について，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$60°$とする．さらに平面上の点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$t$は実数），かつ$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\stackrel{}{\mathrm{OA}}$が垂直でないようにとる．

(1)　点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に平行な直線を$l_1$とし，点$\mathrm{O}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に垂直な直線を$l_2$とする．直線$l_1$と直線$l_2$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$は(1)で定めた点とする．$▵\mathrm{OBP}$と$▵\mathrm{OAQ}$の面積が等しくなるような$t$をすべて求めよ．

【５】　$2$次の正方行列$A\text{，}B$は，

$A+B=-E\text{，}{A}^2=2B$

を満たす．ただし$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　$A^4$および$B^4$は，$E$の実数倍で表されることを示せ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とする．$bc=-5$のとき，$a\text{，}d$の組をすべて求めよ．