2006　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　(1)　$7^6$と$7^7$を求め，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${10}^{{\displaystyle \frac{5}{6}}}<7<{10}^{{\displaystyle \frac{6}{7}}}$

(2)　$7^{42}$の桁数を求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．$n$と$7n$の桁数が等しいとき，$n$の最高位の数字についてどのようなことがいえるか．

(4)　$7\text{，}{7}^2\text{，}{7}^3\text{，}\cdots \text{，}{7}^{42}$のうち，最高位の数字が$1$のものは，少なくとも$6$個あることを証明せよ．

【２】　(1)　図のように，$1$から順番に，$1$行につき$10$個の数を並べておく．このとき，灰色で塗られた$25$個の数の総和を求めよ．

(2)　$n$を$5$以上の奇数とする．(1)と同様に，$1$から順番に，$1$行につき$2n$個の数を並べ

$\{\begin{array}{c}1\text{行目の}n+1\text{番目から}2n\text{番目までを灰色に塗り，}\\ 2\text{行目の}n\text{番目から}2n-1\text{番目までを灰色に塗り，}\\ \cdots \\ n\text{行目の}2\text{番目から}n+1\text{番目までを灰色に塗る．}\end{array}$

　このとき，灰色で塗られた$n^2$個の数の総和を求めよ．

【３】　円$k:x^2+y^2=25$と$2$点$\mathrm{A}(1,2)\text{，}\mathrm{B}(c,2c)\text{（}c<0\text{）}$がある．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とするとき，$\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}=25$となるように $c$ の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$c$の値に対し，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る円は，つねに円$k$の周を$2$等分することを示せ．

【４】　$3$次関数$f(x)$は$x=0$のとき極小値$3\text{，}x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき極大値${\displaystyle \frac{83}{27}}$をとる．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点${\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},f(\frac{1}{2}\left)\right)}$における接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{B}$における接線が点$\mathrm{A}$を通るように点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．