2006　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　次の$3$条件(a)，(b)，(c)を持たす整数の組$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$の個数を求めよ．

(a)　$a_1\geqq 1$

(b)　$a_5\leqq 4$

(c)　$a_i\leqq a_{i+1}(i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4)$

(2)　次の$3$条件(a)，(b)，(c)を満たす整数の組$(a_1,a_2,a_3{a}_4,a_5)$の個数を求めよ．

(a)　$a_1\geqq 1$

(b)　$a_i\geqq 0(i=2\text{，}3\text{，}4\text{，}5)$

(c)　$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\leqq 4$

(3)　$n$桁の自然数で各桁の数字の合計が$r$以下となるものの個数を$n\text{，}r$を用いて表せ．ただし$n\geqq 1\text{，}r\leqq 9$とする．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は互いに垂直であるとする．点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面に垂線$l$を引き，その平面と$l$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}=0$を示せ．

　さらに$\mathrm{AC}=2\text{，}\mathrm{BC}=3$とする．また$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{H}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，点$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{AD}$を$2:1$の比に内分しているとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{CA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{CB}}$となる定数$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　以下の各問いに答えよ．

(1)　関数$g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　次の$2$条件(a)，(b)を満たす微分可能な関数$\varphi (x)$およびその逆関数$h(x)$を求めよ．

(a)　$\varphi (0)=0$

(b)　${\varphi }^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$

(3)　次の$4$条件(a)，(b)，(c)，(d)を満たす微分可能な関数$f(x)$を求めよ．

(a)　$f(0)=1$

(b)　$f^{\prime }(0)=0$

(c)　すべての実数$\alpha$に対して$f(\alpha )=f(-\alpha )$が成立する．

(d)　正の実数$t$に対して座標平面上の曲線$y=f(x)(0\leqq x\leqq t)$の長さを$l(t)$と表すとき，すべての正の実数$t$に対して$l(t)=f^{\prime }(t)$が成立する．