2006　東京工業大学　後期小論文第４類MathJax

【１】　個々の識別ができない$M$個のボールをあなたも含めて$N$人に分配することを考える．ここで，$1$人に$M$個全て分配することも，あるいは$1$個も分配しないことも許すものとする．このときあなたが$x$個のボールを持つ確率を求めたい．ただし，$M$および$N$は$0$ではない．

問１　例えば，$3$個のボールをあなたも含めて$2$人に分配する組合せを書き出すと，表１のように$4$通りとなる．では，$3$個のボールをあなたも含めて$3$人に分配する組合せは何通りあるか．表１と同様にすべて書き出せ．

問２　さらに$4$個のボールを$3$人に分配する組合せは何通りあるか．同じく表を用いて全て書き出せ．

問３　上記の問１，問２から，$M$個のボールを$N$人に分配する組合せの総数を，組合せ記号（${}_{a}C_b\text{：}a$個のものから$b$個とり出す組合わせ）を用いて表示せよ．

問４　$N$人のうちのあなたが$x$個のボールを持つ組合せの数を，組合せ記号を用いて表示せよ．

問５　$N$人のうちのあなたが$x$個のボールを持つ確率$p\left(x\right)$は，以下のように表示される．これを証明せよ．

$p(x)=(N-1){\displaystyle \frac{M(M-1)(M-2)\cdots (M-x+1)}{(M+N-1)(M+N-2)\cdots (M+N-x-1)}}$