2006　一橋大学　前期MathJax

【１】　次の条件(a)，(b)をともにみたす直角三角形を考える．ただし，斜辺の長さを$p\text{，}$その他の$2$辺の長さを$q\text{，}r$とする．

• (a)　$p\text{，}q\text{，}r$は自然数で，そのうちの少なくとも$2$つは素数である．
• (b)　$p+q+r=132$

(1)　$q\text{，}r$のどちらかは偶数であることを示せ．

(2)　$p\text{，}q\text{，}r$の組をすべて求めよ．

【２】　座標平面上に$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．ただし，$▵\mathrm{ABC}$の重心は原点の位置にあり，辺$\mathrm{BC}$は$x$軸と平行である．また，頂点$\mathrm{A}$は$y$軸上にあって$y$座標は正であり，頂点$\mathrm{C}$の$x$座標は正である．直線$y=x$に関して$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$と対称な点を，それぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．

(1)　${\mathrm{C}}^{\prime }$の座標を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$と$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$が重なる部分の面積を求めよ．

【３】　大きさがそれぞれ$5\text{，}3\text{，}1$の平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$に対して，$\overrightarrow{z}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を動かすとき，$\left|\overrightarrow{z}\right|$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}$を固定し，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{z}=20$をみたすように$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を動かすとき，$\left|\overrightarrow{z}\right|$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を正の定数とする．関数$y=x^3-ax$のグラフと，点$(0,2b^3)$を通る直線はちょうど$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を共有している．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は負，$\mathrm{Q}$の$x$座標は正である．

(1)　直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$a$と$b$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$で表せ．

(3)　$\angle \mathrm{POQ}=90°$となる$b$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

【５】　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$が$1$つずつ記された$4$枚のカードがある．これらのカードから$1$枚を抜き出し元に戻すという試行を$n$回繰り返す．抜き出した$n$個の数の和を$X_n$とし，積を$Y_n$とする．

(1)　$X_n\leqq n+3$となる確率を$n$で表せ．

(2)　$Y_n$が$8$で割り切れる確率を$n$で表せ．