2006　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は、数列$\{p^n{a}_n\}$の初項$p{a}_1$から第$n$項$p^n{a}_n$までの和が$q^n$に等しいものとする．ただし，$p\ne 0$ とする．次の問に答えよ．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$を求めよ．

【２】　関数$f(x)$は

$f(x)=3a{x}^2+2x-a{\displaystyle {\int }_0^a}f(t)dt$

を満たすものとする．次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$a$が$0\leqq a\leqq 1$の範囲を動くとき，$f(-a)$の最大値，最小値およびそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{OB}$を$\alpha :1-\alpha (0<\alpha <1，\alpha \ne {\displaystyle \frac{1}{2}})$に内分する点を$\mathrm{T}\text{，}\mathrm{AT}$と$\mathrm{MB}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\alpha ，\overrightarrow{\mathrm{OA}}，\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．

(2)　さらに，直線$\mathrm{MT}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{OR}:\mathrm{RA}$を求めよ．

【４】　$\angle \mathrm{CAB}=120°$の三角形$\mathrm{ABC}$が半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接している．点$\mathrm{A}，\mathrm{B}，\mathrm{C}$における円の接線をそれぞれ$l，m，n$とし，$m$と$n$の交点を$\mathrm{D}\text{，}l$と$m$の交点を$\mathrm{E}\text{，}l$と$n$の交点を$\mathrm{F}$とおく．$\angle \mathrm{BCA}=\alpha ，\angle \mathrm{ABC}=\beta$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{DBC}$は正三角形であることを証明し，$1$辺の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{BE}$の長さを$\tan \alpha$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{DEF}=\sqrt{3}\tan \alpha \tan \beta$であることを示せ．

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}(x>0)$について，次の問に答えよ．

(1)　不等式$\log x<x(x>0)$を示し，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$の極値を求め，グラフの概形をかけ．

(3)　(2)で求めた極値を与える$x$の値を$\alpha$とおく．$y=f(x)$のグラフと$x$軸および直線$x=\alpha$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面に中心$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円$C$と，$C$上の$2$点$\mathrm{A}(0,1)，\mathrm{B}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$がある．弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$上の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{OP}$と直線$y=1$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{Q}$を通って$y$軸に平行な直線と$\mathrm{P}$を通って$x$軸に平行な直線との交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$は短いほうの弧（劣弧）である．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の$y$座標を$t$とおくとき，$\mathrm{R}$の座標を$t$で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，$\mathrm{R}$がえがく曲線の方程式を$y=f(x)$の形に表せ．また，線分$\mathrm{OR}$が動いてできる領域の面積を求めよ．

専攻別数学選択方法

学校教育教員養成課程

　教育実践科学，社会科学教育専攻　数学$\text{①}$

　理数科学専攻　数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

　生活科学専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択
養護学校教員養成課程
　障害児教育専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択
教育カウンセリング課程
　心理臨床専攻　数学$\text{②}$と$\text{③}$