2006　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　無限級数${\displaystyle \frac{1}{1\cdot 5}}+{\displaystyle \frac{1}{5\cdot 9}}+{\displaystyle \frac{1}{9\cdot 13}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}}+\cdots$の和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$xy$平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,1)$と$30°$の角をなす大きさが$1$のベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(a,b)$とする．$a+b$と$ab$の値を求め，つぎに$a<b$のときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を定めよ．ただし$\mathrm{O}$は座標の原点である．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)={\log }_{10}(-x^2+4x-3)$の定義域と導関数を求めよ．

【２】　点$(\sqrt{6},\sqrt{2})$から円$x^2+y^2=a^2(a>0)$に引いた接線の方程式の$1$つが$\sqrt{6}x-\sqrt{2}y=4$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$およびもう$1$つの接線の方程式を求めよ．

(2)　$2$つの接線と円で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円の周上を点$\mathrm{P}$が動くとき${\displaystyle \frac{1}{3\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\mathrm{BP}}}$の最小値を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$以外の点である．

【４】　原点を通る直線$l$と放物線$C:y=a{x}^2+1(a>0)$が$2$点$\mathrm{P}(p,a{p}^2+1)，\mathrm{Q}(q,a{q}^2+1)(0<p<q)$で交わるとする．$l，C$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}l$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とおく．$S_1=S_2={\displaystyle \frac{4}{9}}$であるとき$a$の値を求めよ．