2006　信州大学　後期　理学部数IAIIBMathJax

2006　信州大学　後期　理学部数IAIIB

易□　並□　難□

【１】　 $a ， b$ を実数とする．区間 $0 ≦ x ≦ 1$ において，関数

$f (x) = a (1 - x) + b x - (1 - x)$

の最小値が $0$ であるための必要十分条件を $a ， b$ を用いて表せ．

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易□　並□　難□

【２】

(1)　硬貨を $5$ 回投げる．裏が続いて出ない事象の確率を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】

(2)　白玉 $1$ 個，赤玉 $2$ 個，青玉 $4$ 個，黄玉 $6$ 個がある．これを糸でつないで，すきまのないネックレスをつくる．ネックレスの種類の総数を求めよ．ただし，回転または裏返すことにより一致するものは，同種類とみなす．

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易□　並□　難□

【３】　連立不等式

${\begin{cases} (x - y - 2) (x + y - 2) ≦ 0 \\ x ≧ y^{2} \end{cases}$

の表す領域を図示せよ．また，その領域の面積を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　数列 ${a_{n}}$ を次の(ア)，(イ)によりつくる．

(ア)　 $a_{1} = 0 ， a_{2} = \frac{1}{2}$
(イ)　 $n ≧ 3$ のとき， $a_{n - 2}$ と $a_{n - 1}$ で異なる極値をとる $3$ 次関数 $f_{n} (x)$ を $1$ つ選ぶ．関数 $f_{n} (x)$ のグラフ上の点 $P_{n} (a_{n - 2}, f_{n} (a_{n - 2}))$ における接線が，関数 $f_{n} (x)$ のグラフと交わる（ $P_{n}$ でない）点の $x$ 座標を $a_{n}$ とする．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $n ≧ 3$ のとき， $a_{n}$ を $a_{n - 2}$ と $a_{n - 1}$ を用いて表せ．

(2)　 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおく． $b_{n}$ を求めよ．

(3)　 $a_{n}$ を求めよ．