2006　九州大学　前期MathJax

【１】　曲線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{P}(t,t^2)$をとり，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$l\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線を$m$とする．ただし，$t>0$とする．接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，直線$m$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ${\mathrm{R}}_1\text{，}{\mathrm{R}}_2$とする．また，$▵\mathrm{PQ}{\mathrm{R}}_1$の面積を$S_1$とし，曲線$C$と$y$軸および線分$\mathrm{P}{\mathrm{R}}_2$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$と点${\mathrm{R}}_1$の$x$座標を$t$を用いて表せ．

(2)　面積$S_2$を$t$を用いて表せ．

(3)　$S_1>S_2$が成り立つ$t$の範囲を求めよ．

【２】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，$a_1=b_1=1$および，関係式

• $a_{n+1}=2a_n{b}_n$
• $b_{n+1}=2{a_n}^2+{b_n}^2$

をみたすものとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 3$のとき，$a_n$は$3$で割り切れるが，$b_n$は$3$で割り切れないことを示せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$と$b_n$は互いに素であることを示せ．

【３】　空間ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$について次の問いに答えよ．ただし，$h$と$k$は実数とする．

(1)　$h\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{a}$と垂直であるとき，すべての実数$x$に対して

$|x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\geqq |h\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$

が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{0}$はすべてのベクトルと垂直であるとする．

(2)　$h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$のいずれとも垂直であるとき，すべての実数$x\text{，}y$に対して

$|x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|\geqq |h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$

が成り立つことを示せ．

(3)　$\overrightarrow{a}=(1,1,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,4,-2)\text{，}\overrightarrow{c}=(-3,-6,6)$とするとき，$|x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$の最小値を与える実数$x\text{，}y$と，そのときの最小値を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=\left|\right|\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|-{\displaystyle \frac{1}{2}}|$

について次の問いに答えよ．ただし，$-\pi \leqq x\leqq \pi$とする．

(1)　$f(x)=0$となる$x$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　実数$k$に対し，$f(x)=k$をみたす$x$の個数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$であること，また，$e$は自然対数の底で，$e<3$であることを用いてよい．

(1)　自然数$n$に対して，方程式${\displaystyle \frac{\log x}{x}=\frac{1}{3n}}$は$x>0$の範囲にちょうど$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　(1)の$2$つの実数解を${\alpha }_n\text{，}{\beta }_n\text{（}{\alpha }_n<{\beta }_n\text{）}$とするとき，

$1<{\alpha }_n<e^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}\text{，}ne<{\beta }_n$

が成り立つことを示せ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n$を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$\alpha :1-\alpha$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<\alpha <1$とする．線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$を通り，線分$\mathrm{AM}$に垂直な直線が，辺$\mathrm{OA}$またはその延長と交わる点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=\theta$で$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{6}}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\alpha$を用いて表せ．

(3)　(2)の条件のもとで，点$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{OA}$の中点であるときの$\alpha$の値を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=\left|\right|\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|-{\displaystyle \frac{1}{2}}|$

を考える．ただし，$-\pi \leqq x\leqq \pi$とする．さらに，$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^a}f(x)f(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})dx$

とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$となる$x$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　$F(a)$を求めよ．

【５】　区間$[a,b]$が関数$f(x)$に関して不変であるとは，

$a\leqq x\leqq b$ならば，$a\leqq f(x)\leqq b$

が成り立つこととする．$f(x)=4x(1-x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　区間$[0,1]$は関数$f(x)$に関して不変であることを示せ．

(2)　$0<a<b<1$とする．このとき，区間$[a,b]$は関数$f(x)$に関して不変ではないことを示せ．