2006　首都大学東京　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．答えのみでなく，理由も述べなさい．

(1)　$2000$の正の約数の個数を求めなさい．

(2)　$2000$の正の約数のうち，自然数の$2$乗で表されず，偶数であるものの個数を求めなさい．

(3)　$2001$以上$3000$以下の自然数のうち，$8$の倍数となるものの個数を求めなさい．

(4)　$2000$は$12$で割ると$8$余る．$2001$以上$3000$以下の自然数のうち，$12$で割ると$8$余るものの個数を求めなさい．

(5)　$2001$以上$3000$以下の自然数のうち，$8$の倍数となるかまたは$12$で割ると$8$余るものの個数を求めなさい．

【２】　$4$つの地点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があり，ある日にある地点にいた$\mathrm{X}$氏が図に示された確率で翌日に別の地点に移っているものとする．たとえば，$\mathrm{A}$から$\mathrm{P}$へ移る確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．$\mathrm{X}$氏が$2005$年$12$月$31$日に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$にいた確率をそれぞれ$a_0\text{，}{b}_0\text{，}{p}_0\text{，}{q}_0$とする．$n$を自然数とし，$n$日後に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$にいる確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{p}_n\text{，}{q}_n$とする．たとえば，$2006$年$1$月$3$日に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$にいる確率はそれぞれ$a_3\text{，}{b}_3\text{，}{p}_3\text{，}{q}_3$である．以下の問いに答えなさい．

(1)　$p_{n+2}\text{，}{q}_{n+2}$を$p_n$と$q_n$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{X}$氏が$2005$年$12$月$31$日に$\mathrm{A}$にいたとする．$p_n$と$q_n$を求めなさい．

【３】　$1$辺の長さが$a$の正三角形$\mathrm{ABC}$とその内部に中心をもつ相異なる$4$つの円$C_0\text{，}{C}_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$がある．円$C_0$の中心は$▵\mathrm{ABC}$の重心であり，円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$のおのおのは$▵\mathrm{ABC}$の隣り合う$2$辺と接し，円$C_0$とは外接しているものとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　円$C_0$の半径を$r$とするとき，円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$の半径を求めなさい．

(2)　$4$つの円$C_0\text{，}{C}_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$の面積の和$S$が最小になるときの円$C_0$の半径と$S$の最小値を求めなさい．

【４】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{AD}=5\text{，}\mathrm{BD}=7$とする．辺$\mathrm{AD}$上の点$\mathrm{P}$を通り，辺$\mathrm{AB}$と平行な直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{BD}$と平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．${\mathrm{P}}^{\prime }$を通り対角線$\mathrm{BD}$と平行な直線を引き，辺$\mathrm{CD}$との交点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{AP}=5t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$とするとき，六角形$\mathrm{PQB}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }\mathrm{D}$（ただし，$t=0\text{，}1$のときは三角形）の面積$S\left(t\right)$を$t$で表しなさい．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}S(t)dt$を求めなさい．

【１】　二分裂によって増える細胞がある．分裂してから$1$時間ごとに${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で分裂するとする．すなわち，分裂しない場合は，そのまま存続し，$1$時間後に${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で分裂する．分裂した場合は，$2$つの細胞になり，おのおのが$1$時間後に${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で分裂する．

　分裂した直後の細胞が時刻$0$時に$1$個あるとする．したがって，時刻$1$時に細胞が$1$個である確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，$2$個である確率も${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．以下の問いに答えなさい．

(1)　時刻$3$時の細胞の数が$3$である確率を求めなさい．

(2)　$n$を正の整数とする．時刻$n$時の細胞の数が$2$である確率を求めなさい．

(3)　時刻$2$時の細胞の数の期待値を求めなさい．

【２】　関数$y=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\text{（}x>0\text{）}$のグラフを$G$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$y=x^2$のグラフを平行移動した放物線で$G$上に頂点をもち，原点を通るものを$C_1$とするとき，$C_1$の方程式を求めなさい．

(2)　$C_1$と$x$軸の交点で原点と異なるものを${\mathrm{P}}_1$とする．$y=x^2$のグラフを平行移動した放物線で$G$上に頂点をもち，$C_1$と点${\mathrm{P}}_1$のみで交わるものを$C_2$とし，$C_2$と$x$軸の交点で${\mathrm{P}}_1$と異なるものを${\mathrm{P}}_2$とする．以下同様にして，$y=x^2$のグラフを平行移動した放物線で$G$上に頂点を持ち，$C_{n-1}$と点${\mathrm{P}}_{n-1}$のみで交わるものを$C_n$とし，$C_n$と$x$軸の交点で${\mathrm{P}}_{n-1}$と異なるものを${\mathrm{P}}_n$とする．このとき，点${\mathrm{P}}_n$の座標を求めなさい．

(2)　放物線$C_n$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_n$とするとき，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n^3}{S}_n$

を求めなさい．

【３】　$(A-E)(A-2E)=O$を満たす行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 2& -1\end{array}\right)$

に対して，以下の問いに答えなさい．ここで，$a\text{，}b$は実数，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)　$a\text{，}b$を求めなさい．

(2)　$A$の逆行列$B$を求め，

$B^2+\alpha B+\beta E=O$

を満たす実数$\alpha \text{，}\beta$を求めなさい．

(3)　実数$c$に対して

$(2+4c)B^4-(5+4c)B^2+(7+c)B-3E$

を求めなさい．

【１】　$3$次式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$に対し，方程式$f(x)=0$は相異なる$3$個の実数解$-1\text{，}\alpha \text{，}\beta$をもち，${\alpha }^2+{\beta }^2=1$を満たすとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$をそれぞれ$\alpha$と$\beta$を用いて表しなさい．

(2)　$c$を$a$を用いて表しなさい．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx$の値のとり得る範囲を求めなさい．

【２】(1)　自然数$n$に対して，次の不等式を証明しなさい．

$n\log n-n+1\leqq \log (n!)\leqq (n+1)\log (n+1)-n$

(2)　次の極限の収束，発散を調べ，収束するときにはその極限値を求めなさい．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (n!)}{n\log n-n}}$

【３】　$n$を$3$以上の整数とする．平面上に$n$個のベクトル$\overrightarrow{v_1}\text{，}\overrightarrow{v_2}\text{，}\cdots \text{，}\overrightarrow{v_n}$があり，次の条件を満たすとする．

• (a)　$\overrightarrow{v_1}=(1,0)\text{，}\overrightarrow{v_2}=(0,1)\text{．}$
• (b)　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，実数$a_k$があって，

  $a_k\overrightarrow{v_k}=\overrightarrow{v_{k-1}}+\overrightarrow{v_{k+1}}$

  が成り立つ．ただし，$\overrightarrow{v_0}=\overrightarrow{v_n}\text{，}\overrightarrow{v_{n+1}}=\overrightarrow{v_1}$とする．

　以下の問いに答えなさい．

(1)　$n=3$のとき，$a_3$を求めなさい．

(2)　$n=4$で$a_1\ne 0$のとき，$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$をそれぞれ$a_1$を用いて表しなさい．

(3)　$n=4$で$a_1\ne 0$のとき，$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$に対し，行列$A_k$を

$A_k=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& a_k\end{array}\right)$

で定める．行列の積$A_1{A}_2{A}_3{A}_4$を求めなさい．