2006　横浜市立大　前期医学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+bx+c}{x^2+2}}\text{（}a\text{，}b\text{，}c\text{は定数）}$

が$x=-2$で極小値${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}x=1$で極大値$2$をもつ．このとき$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　積分の極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^n}{\displaystyle \frac{1}{x^3}}{e}^{-{\displaystyle \frac{1}{x}}}dx$

を求めよ．

【１】

(3)　$1$から$9$までの自然数$n$について，$n$と書かれたカードが$4$枚，合計$36$枚のカードがある．$36$枚のカードから一度に$2$枚のカードを抜く．

(ⅰ)　$2$枚のカードの数字が同じになっている確率を求めよ．

(ⅱ)　$2$枚のカードの数字の積の期待値を求めよ．

【２】　$N$を自然数とし，$\phi (N)$を$N$より小さくかつ$N$と互いに素な自然数の総数とする．すなわち

$\phi (N)=\#\{n|n\text{は自然数，}1\leqq n<N\text{，}\gcd (N,n)=1\}$

で，オイラー関数と呼ばれている．ここに$\gcd (a,b)$は$a$と$b$の最大公約数を，$\#\mathrm{A}$は集合$\mathrm{A}$の要素の総数を意味する．例えば，

$\phi (6)=\#\{1,5\}=2\text{，}\phi (15)=\#\{1,2,4,7,8,11,13,14\}=8$

である．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$p$と$q$を互いに異なる素数とし$N=pq$とおく．

(ⅰ)　$N$より小さい自然数$n$で，$\gcd (N,n)\ne 1$となるものを全て求めよ．

(ⅱ)　$\phi (N)$を求めよ．

(2)　$p$と$q$を互いに異なる素数とし$N=pq$とおく．今$N$と$\phi (N)$があらかじめわかっているとき，$p$と$q$を解としてもつ二次方程式を$N$や$\phi (N)$等を用いて表せ．

(3)　$N=84773093$および$\phi (N)=84754668$であるとき，$N=pq\text{（}p>q\text{）}$となる素数$p$および$q$を求めよ（求めた$p$および$q$が素数であることを示さなくてよい）．

　ただし，必要に応じて以下の数表を使ってもよい．

${320}^2=102400;{322}^2=103684;{324}^2=104976;$

${326}^2=106276;{328}^2=107584;{330}^2=108900$

【３】　行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$A^5$を求めよ．

(2)　$n\geqq 4$であれば$A^n$の各成分はすべて正であることを証明せよ．

【４】　半径$1$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$に対し，

$L={\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{CD}}^2+{\mathrm{DA}}^2$

とおく．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{BCD}$の面積をそれぞれ$S$および$T$とする．また$\angle \mathrm{A}=\theta \text{（}0°<\theta <90°\text{）}$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$L$を$S\text{，}T$および$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$を一定としたとき，$L$の最大値を求めよ．