2006　大阪府立大学　中期MathJax

【１】(1)　すべての実数$x$に対して

$(a^2-1)x^3+(-a+b+1)x^2+(ab-b-4)x+4a-3b+4>0$

がなりたつような整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(2)　$xy$平面において，次の連立不等式の表す領域を図示せよ．

$\{\begin{array}{l}|x|\leqq \pi \\ \cos x+\sqrt{1-y^2}\geqq 0\end{array}$

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【２】　${\displaystyle \frac{1}{e}}<t<e$を満たす$t$に対して，関数$f(t)$を

$f(t)={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{e}}^e}|x-t|\log xdx$

と定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$の導関数$f^{\prime }(t)$を求めよ．

(2)　$f(t)$を最小にする$t$が${\displaystyle \frac{1}{e}}$と$e$の間にただ一つ存在することを示せ．

【３】　$xy$平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,2)\text{，}\mathrm{C}({\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{5}{6}})$がある．点$\mathrm{C}$を通る直線が線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$とそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わっている．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$と，点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{B}$と一致してもよいが，点$\mathrm{O}$とは一致しないものとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　実数$t$により$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{a}$と表したとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積$S(t)$を求めよ．

(4)　$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

（(1)，(3)，(4)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【４】　$1\text{，}2\text{，}3$の番号がつけられた赤玉$3$個が袋$\mathrm{A}$に入っている．同様に$1\text{，}2\text{，}3$の番号がつけられた白玉$3$個が袋$\mathrm{B}$に入っている．いま$n\geqq 2$として袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から無作為に$1$個ずつ玉を取り出し，番号を調べてもとに戻すという試行を$n$回行う．$i$回目に取り出された赤玉，白玉につけられた番号をそれぞれ$a_i\text{，}{b}_i$とする（$1\leqq i\leqq n$）．このとき，$xy$平面上で直線$l_i$を

$l_i:a_{i}x+b_{i}y=1$

と定める．以下では，$2$直線$l\text{，}m$が一致するときも$l\text{，}m$は平行であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$l_1$と$l_2$が平行であるが一致しない確率$p$を求めよ．

(2)　$l_1$と$l_2$が$1$点で交わる確率$q$を求めよ．

(3)　$l_1\text{，}{l}_2\text{，}\cdots \text{，}{l}_n$がすべて互いに平行となる確率$r$を求めよ．

(4)　$l_1\text{，}{l}_2\text{，}\cdots \text{，}{l}_n$のどの$2$直線も平行でない確率$s$を求めよ．

（(1)，(2)，(4)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【５】　$r$は$0<r<1$を満たす定数とする．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$が

$a_0=0\text{，}{a}_{n+1}-a_n=2\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定義されている．座標空間内で中心が$(a_n,0,0)\text{，}$半径が$r^n$の球面によって囲まれる立体を$A_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$A_0\text{，}{A}_1\text{，}\cdots \text{，}{A}_n$の和集合の体積$U_n$を求めよ．

(2)　数列$\{{\mathrm{b}}_n\}$が

$b_0=0\text{，}{b}_{n+1}-b_n=r^n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定義されている．座標空間内で中心が$(b_n,0,0)\text{，}$半径が$r^n$の球面によって囲まれる立体を$B_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とし，$B_n$と$B_{n+1}$の共通部分の体積を$v_n$とするとき，

(ⅰ)　$v_0$を求めよ．

(ⅱ)　$v_n$と$v_0$の関係を求めよ．

(ⅲ)　$B_0\text{，}{B}_1\text{，}\cdots \text{，}{B}_n$の和集合の体積を$W_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{W}_n$を求めよ．