2006　上智大学　法(法律)学部2月9日実施MathJax

【１】

(1)　$\mathrm{A}$市に関する次の命題「すべての家庭にテレビがある」の否定命題を選んでマークせよ．

$\text{①}$　どの家庭にもテレビがない．

$\text{②}$　テレビをもつ家庭とテレビをもたない家庭が少なくとも$1$軒ずつある．

$\text{③}$　テレビのある家庭が少なくとも$1$軒ある．

$\text{④}$　テレビのない家庭が少なくとも$1$軒ある．

【１】

(2)　命題「関数$f(x)$はすべての$x\geqq 0$で$f(x)\geqq 0$をみたす」の否定命題を選んでマークせよ．

$\text{①}$　関数$f(x)$は，すべての$x\geqq 0$で$f(x)<0$をみたす．

$\text{②}$　関数$f(x)$は，すべての$x<0$で$f(x)<0$をみたす．

$\text{③}$　関数$f(x)$は，ある$x\geqq 0$で$f(x)<0$をみたす．

$\text{④}$　関数$f(x)$は，ある$x<0$で$f(x)\geqq 0$をみたす．

【１】

(3)　任意の$a>0$に対して，$x>0$においてつねに

$x^2+ax+a^2-b^2+1>0$

が成り立つための必要十分条件は$\boxed{\text{あ}}$である．

【１】

(4)　$g(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|4x-1|$とする．$g(x)$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$をとる．また，$3$直線$x=0\text{，}x=1\text{，}y=0$と$y=g(x)$のグラフとで囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

【２】　次の$4$条件をみたす$3$次関数$f(x)$を考える．

・$x^3$の係数は$1$で，$f(0)=0$である．

・$y=f(x)$は$x=a$で極大値$\alpha$をとる．

・$y=f(x)$は$x=b$で極小値$\beta$をとる．

・$|\alpha |=|\beta |$

(1)　$a<0$をみたす$a$を$1$つとり固定する．このとき，上の$4$条件をみたす$f(x)$は$\boxed{\text{キ}}$個あり，そのなかで$b$が最小になるものは

$b=(\boxed{\text{ク}}-\sqrt{\boxed{\text{ケ}}})a\cdots \text{①}$

である．

(2)　$a=-1$とし，$b$を$\text{①}$をみたすようにとったとき，$f(x)$の極大値$\alpha$は

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}+\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

(3)　$a>0$のときは

$b=(\boxed{\text{ソ}}+\sqrt{\boxed{\text{タ}}})a$

である．

【３】　$X$を，$1$から$9$までの$9$つの整数から，いくつかの整数を重複なく選んでできる集合とする．$\mathrm{X}$に対して，その中の$1$つ以上の相異なる数の和として表される整数の全体を$\mathrm{S}(\mathrm{X})$で表す．たとえば，$\mathrm{X}=\{1,3\}$のとき$\mathrm{S}(\mathrm{X})=\{1,3,4\}$である．

(1)　$\mathrm{X}$が$4$つの整数からなる集合のとき，$\mathrm{S}(\mathrm{X})$が$1$から$15$までのすべての整数を要素とするならば

$\mathrm{X}=\{\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}}\}$

である．ただし$\boxed{\text{チ}}<\boxed{\text{ツ}}<\boxed{\text{テ}}<\boxed{\text{ト}}$とする．

(2)　$3\in \mathrm{S}(\mathrm{X})$をみたす$3$つの整数からなる集合$\mathrm{X}$は$\boxed{\text{ナ}}$通りある．

(3)　$10\in \mathrm{S}(\mathrm{X})$をみたす$3$つの整数からなる集合$\mathrm{X}$は$\boxed{\text{ニ}}$通りある．

(4)　$\mathrm{S}(\mathrm{X})$が$4$の倍数を要素としないとき，$3$つの整数からなる集合$\mathrm{X}$は

$\mathrm{X}=\{\boxed{\text{ヌ}},\boxed{\text{ネ}},\boxed{\text{ノ}}\}$

である．ただし$\boxed{\text{ヌ}}<\boxed{\text{ネ}}<\boxed{\text{ノ}}$とする．