2006　上智大学　理工（機械・化学）学部2月10日実施MathJax

【１】

(1)　$xy$平面内の$3$つの集合

$A=\{(x,y)|x^2+y^2-2y-1<0\}$

$B=\{(x,y)|y+x^2-1\leqq 0\}$

$C=\{(x,y)|y-ax-a=0\}$

を考える．$A\cap B\cap C\ne \phi$であるのは，実数$a$が

$\boxed{\text{ア}}<a<\boxed{\text{イ}}$

を満たすときである．

【１】

(2)　方程式

$\sqrt{x+1}-x-k=0$

を満たす解の個数が最も多いのは，実数$k$が

$\boxed{\text{ウ}}\leqq k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

を満たすときである．

【１】

(3)　$-1\leqq x\leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$に対して定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f(x)-(px+q)\}}^{2}dx$

は，$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}xf(x)dx\text{，}q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx$のとき最小値をとる．

【２】　外から空気を入れて，球の形をした風船を膨らます装置がある．それを観測して，その風船の半径が$r$のとき，表面積が単位時間あたり$64\pi r{e}^{-r}$の割合で増加していることをつきとめた．ただし，時刻$t=0$のとき$r=0$と仮定する．また対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　${\displaystyle \frac{dr}{dt}}$を$r$の式で表すと，

${\displaystyle \frac{dr}{dt}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\boxed{\text{あ}}$

である．時刻$t$を風船の半径$r$の関数と思えば

${\displaystyle \frac{dt}{dr}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\boxed{\text{い}}$

である．

$\boxed{\text{あ}}\text{，}\boxed{\text{い}}$の選択肢：

(2)　時刻$t$における風船の体積を$V(t)$とすると

${\displaystyle \frac{dV(t)}{dt}}=\boxed{\text{セ}}\pi {\displaystyle \frac{{(\log (\boxed{\text{ソ}}t+\boxed{\text{タ}}))}^2}{\boxed{\text{ソ}}t+\boxed{\text{タ}}}}$

である．

【３】　$a\geqq 0$とし，

$f(x)=\{1+{(a+x)}^2\}\{1+{(a-x)}^2\}$

とおく．$x$が$-a\leqq x\leqq a$の範囲を動くときの$f(x)$の最小値を$m(a)$とおく．

(1)　$0\leqq a\leqq \boxed{\text{チ}}$のときは$m(a)=\boxed{\text{ツ}}{a}^4+\boxed{\text{テ}}{a}^2+\boxed{\text{ト}}$であり，$a\geqq \boxed{\text{チ}}$のときは$m(a)=\boxed{\text{ナ}}{a}^2+\boxed{\text{ニ}}$である．

(2)　$\{(x,y)|0\leqq x\leqq 2\text{，}0\leqq y\leqq m(x)\}$で表される$xy$平面の図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\pi$である．

【４】　$xyz$空間の原点に駒がある．$x$または$y$または$z$が大きくなる方向に$1$ずつ駒を進める．

(1)　原点から$(2,2,2)$まで進む方法は$\boxed{\text{ノ}}$通りである．

(2)　原点から$(1,1,0)$を通り$(2,2,2)$まで進む方法は$\boxed{\text{ハ}}$通りである．

(3)　原点から$(1,1,1)$を通らないで$(2,2,2)$まで進む方法は$\boxed{\text{ヒ}}$通りである．

(3)　サイコロを投げ，$1\text{，}2\text{，}3$が出たら$x$方向，$4\text{，}5$が出たら$y$方向，$6$が出たら$z$方向に$1$ずつ進むとき，$6$回投げたとき$(2,2,2)$に進む確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．