2006　上智大学　理工(物理)学部推薦MathJax

【１】　図のように，$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径が$1$の円弧がある．$x=t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{），}x$軸，$y$軸および円弧で囲まれた部分（灰色の部分）の面積を$S(t)$とする．

1.　$S(t)$を積分を使って書け．

2.　${\displaystyle \frac{dS(t)}{dt}}$を求めよ．

3.　円弧と$x=t$との交点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$を結んだ直線と，$y$軸との間の角度を$\theta$とすると，面積$S$は以下のようになることを示せ．

$S(\theta )={\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{\displaystyle \frac{\sin 2\theta }{4}}$

4.　${\displaystyle \frac{dS(\theta )}{d\theta }}$を求めよ．

5.　${\displaystyle \frac{dS(\theta )}{d\theta }}$を，$t=\sin \theta$と書き，合成関数の微分および2.の結果を使って求め，4.の結果と一致していることを確かめよ．

【２】

1.

(1)　平面ベクトル，$\overrightarrow{a}=(2,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,-2)\text{，}\overrightarrow{c}=(1,1)$を考える．$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行になる$t$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と垂直になる$t$の値を求めよ．

【２】

1.

(2)　空間ベクトル，$\overrightarrow{a}=(1,-2,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(-1,1,1)$を考える．$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の値を求めよ．

【２】

2.　図のような三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交わる点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線が交わる点を$\mathrm{I}$とする．辺$\mathrm{AB}$の長さを$c\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さを$a\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$とおく．

(1)　$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$を$c:b$に内分することを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{b+c}}$を示せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AI}}={\displaystyle \frac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{a+b+c}}$を示せ．

(4)　任意の点$\mathrm{O}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OI}}={\displaystyle \frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{a+b+c}}$を示せ．