2006　早稲田大学　人間科学部MathJax

$\sqrt{\boxed{\text{イ}}}<x<\sqrt[\boxed{\text{ウ}}]{\boxed{\text{エ}}}$

である．ただしエの値はできる限り小さい整数で答えること．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{23}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{カ}}}{23}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$

である．

　いま$3^x=A\text{，}{3}^y=B\text{，}A+B=t$とおくと

$AB={\displaystyle \frac{1}{2}}t(t+\boxed{\text{ケ}})$

である．

　したがって${27}^x+{27}^y={\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^{\boxed{\text{コ}}}(\boxed{\text{サ}}-t)$となり，求める値の範囲は

$\boxed{\text{シ}}<{27}^x+{27}^y\leqq \boxed{\text{ス}}$

である．

$\mathrm{S}=\{(x,y)|x\text{，}y\text{は整数，}{\log }_{10}2+{\log }_{10}(6-x)(6+y)\geqq 2{\log }_{10}(y-x+9)\}$

とするとき，$\mathrm{S}$の要素の個数は$\boxed{\text{セ}}$である．

$\sin A={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．

　このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{RA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{RB}}$の最小値を求めよう．

(1)　面$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MB}}$は垂直であるから$\overrightarrow{\mathrm{RA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{RB}}=\boxed{\text{チ}}\overrightarrow{\mathrm{RA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{RM}}$が成り立つ．

(2)　さらに，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{N}$とすると$\overrightarrow{\mathrm{RA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{RB}}={|\overrightarrow{\mathrm{RN}}|}^2-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ツ}}}}$が成り立つ．

(3)　ゆえに，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{RA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{RB}}$の最小値は$\boxed{\text{テ}}-\boxed{\text{ト}}\sqrt{2}$である．

• $C_1:y=-x^2+4$
• $C_2:y=x^2-2(b+1)x+4b$

を考える．ただし$b$は定数で$1<b<3$とする．$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$は$2$点で交わる．これらの点を$x$座標が小さい順に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．

　いま，放物線$C_1\text{，}$線分$\mathrm{OP}$および直線$x=0$によって囲まれる部分は第一象限にあり，その面積を$S_1$とする．また$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{ナ}},\boxed{\text{ニ}})$である．

(2)　面積$S_1$を，定数$b$を用いて表せば

$S_1={\displaystyle \frac{b^3+\boxed{\text{ヌ}}{b}^2+\boxed{\text{ネ}}b-13}{\boxed{\text{ノ}}}}$

である．

(3)　面積$S_2$を，定数$b$を用いて表せば

$S_2={\displaystyle \frac{b^3+\boxed{\text{ハ}}{b}^2+\boxed{\text{ヒ}}b-27}{\boxed{\text{フ}}}}$

である．

$(4+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{2}}{\boxed{\text{タ}}}})\pi$

である．

$f(x)=x+2{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sin (x-t)f(t)dt$

を満たすとする．このとき$f(x)=x+A\sin x+B\cos x$と表され

$A={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}{\pi }^2+\boxed{\text{ツ}}}{{\pi }^2+1}}\text{，}B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}\pi }{{\pi }^2+1}}$

である．

(1)　行列$P$が逆行列をもち，$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$となるとき，定数$p\text{，}a\text{，}b$の値は

$p=\boxed{\text{ト}}\text{，}a=\boxed{\text{ナ}}\text{，}b=\boxed{\text{ニ}}$

である．

(2)　行列$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は

$A^n={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}3\cdot {\boxed{\text{ヌ}}}^n+\boxed{\text{ネ}}& 3\cdot {\boxed{\text{ヌ}}}^n+\boxed{\text{ノ}}\\ {\boxed{\text{ヌ}}}^n+\boxed{\text{ハ}}& {\boxed{\text{ヌ}}}^n+\boxed{\text{ヒ}}\end{array}\right)$

となる．

(3)　数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}{x}_1=y_1=1$で定めるとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}=\boxed{\text{フ}}$である．