2006　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　次の空欄にあてはまる式または数値を解答欄に記入せよ．

　$x$軸と円$l:x^2+y^2-y=0$から等距離にある点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡は，曲線$m:\boxed{\text{ア}}$および半直線$m^{\prime }:\boxed{\text{イ}}$である．ここで，円$l$と点$\mathrm{P}$との距離とは，$l$上の点と点$\mathrm{P}$の最短距離を表す．

　得られた曲線$m$と直線$n:y=x$に囲まれた領域で，円$l$の外部にある部分の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【２】　次の説明を読み，下の各問に答えよ．解答欄に答のみ記入せよ．

　$1$から$8$までの正の整数の集合を$\mathrm{X}$とし，$\mathrm{X}$を奇数と偶数の集合に分けて，

$\mathrm{A}=\{1,3,5,7\}\text{，}\mathrm{B}=\{2,4,6,8\}$

とする．いま，$\mathrm{X}$の要素を並べ替えて作った順列

$P:<x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8>$

を次の規則(ⅰ)〜(ⅲ)によって定める：

• (ⅰ)　$x_1$は$\mathrm{X}$の要素を任意に一つ定める
• (ⅱ)　$(x_1,x_2)\text{，}(x_3,x_4)\text{，}(x_5,x_6)\text{，}(x_7,x_8)$の各組で，
  • $\begin{array}{l}{x}_{2i-1}\in \mathrm{A}\text{ならば}{x}_{2i}\in \mathrm{B}\\ x_{2i-1}\in \mathrm{B}\text{ならば}{x}_{2i}\in \mathrm{A}\end{array}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$
• (ⅲ)　組$(x_{2i-1},x_{2i})\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$で，
  • $x_{2i-1}$と$x_{2i}$のうち大きい方が$\mathrm{A}$の要素ならば$x_{2i+1}\in \mathrm{A}$
  • $x_{2i-1}$と$x_{2i}$のうち大きい方が$\mathrm{B}$の要素ならば$x_{2i+1}\in \mathrm{B}$

　順列$P$は上の(ⅰ)〜(ⅲ)の規則をみたすものとして，以下の問いに答えよ．

(1)　$P$のうち$x_1$から$x_5$までが次のように定められた順列

$P:<1,2,4,3,6,x_6,x_7,x_8>$

がある．このとき，順列$P$の部分$<x_6,x_7,x_8>$をすべて列挙せよ．

(2)　$x_1=1\text{，}{x}_2=4\text{，}{x}_8=8$をみたす順列$P$は何通りあるか．

(3)　$x_1=1\text{，}{x}_2=6$をみたす順列$P$は何通りあるか．

【３】　次の各問に答えよ．ただし，正の整数$n$と整数$k\text{（}0\leqq k\leqq n\text{）}$に対して，${}_{n}C_k$は正の整数である事実を使ってよい．

(1)　$m$が$2$以上の整数のとき，${}_{m}C_2$が$m$で割り切れるための必要十分条件を求めよ．答のみ解答欄に記せ．

(2)　$p$を$2$以上の素数とし，$k$を$p$より小さい正の整数とする．このとき，${}_{p}C_k$は$p$で割り切れることを示せ．

(3)　$p$を$2$以上の素数とする．このとき，任意の正の整数$n$に対し，

${(n+1)}^p-n^p-1$

は$p$で割り切れることを示せ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$4:5$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{OP}$が平面$\mathrm{ABC}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．次の各問に答えよ．解答欄の空欄にあたはまる数値を記入し，(2)についてはその証明も与えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさの比$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$を最も簡単な整数比で表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABQ}$と$▵\mathrm{ABC}$の面積比$▵\mathrm{ABQ}:▵\mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表せ．