2006　関西大　工学部Ｓ方式MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\sin 4x=(a{\sin }^{3}x+b\sin x)\cos x$を満たす定数$a\text{，}b$は，$a=\boxed{\text{①}}\text{，}b=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$\sin 4x=k\cos x$が$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす解をもつような定数$k$の存在する範囲を求めよ．

(3)　$\sin 4x=\cos x$は$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で$2$つの解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもっている．このとき，$\sin \alpha \text{，}\sin \beta$の値を求めよ．また，${\displaystyle {\int }_0^{\beta }}(\sin 4x-\cos x)dx$の値を求めよ．

【２】　一辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$の$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{OQ}$を$k:(1-k)\text{（}0<k<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$とおくと，$l=\boxed{\text{①}}$であり，$m\text{，}n$を$k$を用いて表すと，$m=\boxed{\text{②}}\text{，}n=\boxed{\text{③}}$である．また，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{④}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$k$を用いて表し，$\mathrm{PR}$と$\mathrm{OQ}$が垂直に交わるときの$k$の値を求めよ．

(3)　$k$が(2)で求めた値をとるとき，$\mathrm{PR}$の長さおよび$▵\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

【３】　$3$個のさいころを同時に投げる．出た目を長さにする$3$本の線分について，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$3$本の線分を$3$辺とする正三角形が存在する確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$3$本の線分を$3$辺とする直角三角形が存在する確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$3$本の線分の長さを$a\text{，}b\text{，}c$とし，その中で$a$が最大であるとする．この$3$本の線分を$3$辺とする三角形が存在するための必要十分条件を$a\text{，}b\text{，}c$で表すと，$a<\boxed{\text{③}}$である．このとき，この三角形で長さが$a$である辺の対角を$\theta$とすると，$\theta$はこの三角形の最大の角になり，$\cos \theta$は$a\text{，}b\text{，}c$により$\cos \theta =\boxed{\text{④}}$と表される．よって，この三角形が鈍角三角形になるための必要十分条件を$a\text{，}b\text{，}c$で表すと，$\boxed{\text{⑤}}$である．したがって，最大辺の長さが$6$になる鈍角三角形が存在する確率は$\boxed{\text{⑥}}$である．また，最大辺の長さが$4$以下になる鈍角三角形が存在する確率は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$x$が$1\leqq x\leqq 128$の範囲を動くとき，${({\log }_{4}x)}^2-{\log }_2{x}^2+3$の最大値は$\boxed{\text{①}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$i$は虚数単位，すなわち$i^2=-1$とする．実数係数の$3$次方程式$x^3+ax+b=0$の$1$つの解が$1+i$である．このとき，実数解は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　${\displaystyle \frac{\sin 15°-\cos 15°}{\sin 75°+\cos 75°}}$の値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 4\end{array}\right)$に対し，$B=A-E$（$E$は単位行列）とおく．$B^2=cB\text{，}{A}^3=E+dB$を満たす定数$c\text{，}d$の値は$c=\boxed{\text{⑤}}\text{，}d=\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　曲線$y={\displaystyle \frac{1-x}{2+x}}$と$x$軸および$2$直線$x=-1\text{，}x=2$で囲まれた$2$つの部分の面積の和は$\boxed{\text{⑦}}$である．