2007　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$を定数とし，$a>0$とする．関数$f(x)=x^2+ax+2$について，放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$(p,q)$とする．また，関数$g(x)=x^3+a{x}^2+bx-2$は$x=p$で極値$q$をとるとする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$の値を求めよ．

(2)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の共有点のうちで，点$(p,q)$と異なる点の座標を求めよ．

【２】　$a$を正の数とし，曲線$y=a\log x$を$C$とする．曲線$C$上の点$(a,a\log a)$における接線を$l$とする．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$l$と$C\text{，}$および$2$直線$x=2\text{，}x=4$で囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$S(a)$が最小となるような$a$の値を求めよ．

【３】　正の数からなる数列$\{a_n\}$が，次の条件を満たすとする．

$a_1=5\text{，}{a}_{n+1}=3a_n-2^n{a}_n{a}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{3^n}{a_n}}$とおくとき，$b_{n+1}-b_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$t$を正の数とする．平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DE}}$および$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$を$t\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が$45°$で，$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{d}\right|$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\perp \overrightarrow{\mathrm{EF}}$となるような$t$の値を求めよ．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -1\\ 1& a-2\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\text{，}X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right)$について，$PX=A+X^{-1}AX$が成り立つとする．ただし，$a\text{，}p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$は実数とする．

(1)　$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$(A+P)(A-P)=A^2-P^2$が成り立つような$a$の値を求めよ．