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2007-10081-0201
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2007 東北大学 後期
文系
理系【1】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) sin3⁡ x+cos 3⁡x ≦1 を示せ.
(2) 0≦x< 2⁢π の範囲で sin 3⁡x +cos3 ⁡x+ sin⁡x= 2 を満たす x を求めよ.
2007-10081-0202
理系【2】の類題
【2】 図のような平行四辺形 ABCD において ∠ ADB は直角とする. D から線分 AC に下ろした推薦と AC との交点を E とする. AD→ =a → , AB→ =b→ とおき, | a→ |= 1 , |b → |= 13 とする.
(1) 内積 a →⋅ b→ を求めよ.
(2) DE→ を a → と b → で表せ.
2007-10081-0203
【3】 xy 平面の 3 点 (0 ,0) , (1 ,0) , (0 ,1) を頂点とする三角形を A とし, 3 点 (0 ,0) ,( b,0 ), (0 ,1) を頂点とする三角形を B とする.点 ( a1 ,a2 ) が A 内を動き,点 ( b1 ,b2 ) が B 内を動くとき, ( a1+ b1 ,a2 +b 2) で表される点の全体を A +B とかく.
(1) b=2 のとき A+ B の面積を求めよ.
(2) すべての b> 0 に対して,
|A+ B|≧ | A| +| B|
を示せ.ただし, |A +B | , |A | , |B | は,それぞれ A +B ,A , B の面積とする.
2007-10081-0204
理系【3】の類題
【4】 あるグループの各人が独立に一問のクイズに答え,グループの人数の半数以上が正解すればグル−プは合格とする.ただし,一人一人の正解する確率は p で, 0≦p ≦1 とする.グループの人数が 2 ⁢n であるとき,グループが合格する確率を a n⁡( p) とする.
(1) a2 ⁡(p ) は文字 p についての多項式として p 2 で割り切れることを示せ.
(2) a2 ⁡(p )≧a 1⁡( p) となる p の範囲を求めよ.
2007-10081-0205
理系
文系【1】の類題
【1】 0≦x <2⁢ π の範囲で次の方程式の解を求めよ.
(1) sin3⁡ x+cos 3⁡x =1
(2) sin3 ⁡x+ cos3⁡ x+sin⁡ x=2
2007-10081-0206
文系【2】の類題
【2】 図のような平行四辺形 ABCD において ∠ ADB は直角とする. D から線分 AC に下ろした垂線と AC との交点を E とする. AD→ =a → , AB→ =b → とおき, | a→ |= 1 , |b → |= 13 とする.
(1) 内積 a→ ⋅b → を求めよ.
(3) 内積 DE→ ⋅DB → と ∠ EDB を求めよ.
2007-10081-0207
理学部
文系【4】の類題
【3】 あるグループの各人が独立に一問のクイズに答え,グループの人数の半数以上が正解すればグループは合格とする.ただし,一人一人の正解する確率は p( 0≦ p≦1 ) とする.グループの人数が 2 ⁢n であるときグループが合格する確率を a n⁡( p) とする.
(1) 2 以上の自然数 n に対して, an ⁡(p ) は文字 p についての多項式として p n で割り切れ, an ⁡(p) −a n−1 ⁡( p) は文字 p についての多項式として ( 1−p )n で割り切れることを示せ.
(2) a3⁡ (p)≧ a2⁡ (p) となる p の範囲を求めよ.
2007-10081-0208
【4】 a ,b を a≧0 , b≦ −2⁢ a3+ 3⁢a −2 を満たす定数とする.このとき, xy 平面において,直線 y =2⁢ x と放物線 y =x2 +2⁢ a⁢x+ b は 2 点で交わることを示せ.
2007-10081-0209
【5】 不等式 x2 >2 x を満たす正の実数 x の範囲を求めよ.
2007-10081-0210
【6】 楕円 x2 4+ y2 9=1 上に点 P k ( k=1 , 2 ,⋯ , n ) を ∠ Pk OA= kn ⁢π を満たすようにとる.ただし, O=( 0,0 ), A= (2, 0) とする.このとき,
limn →∞ ⁡ 1n ⁢( 1OP 12 +1 OP2 2+ ⋯+ 1OP n2 )
を求めよ.
文系・理系の学部・学科別
文系 法学部・経済学部・医学部保健学科看護学専攻
理系 理学部・薬学部・医学部(医保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻)