2007　東京医科歯科大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　底面の半径が$r\text{，}$高さが$h$の直円錐の側面積を$r$と$h$を用いて表せ．

(2)　座標平面上の$4$点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},1)\text{，}\mathrm{B}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}}\right)\text{，}\mathrm{E}(0,{\displaystyle \frac{3}{2}})\text{，}\mathrm{F}(0,1)$を考える．四角形$\mathrm{ABEF}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の表面積を求めよ．

(3)　座標平面上の曲線

$C:x^2+y^2=3\text{（}0<x<\sqrt{2}\text{，}1<y<\sqrt{3}\text{）}$

の上の点$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{Q}$と同じ$y$座標を持つ$y$軸上の点を$\mathrm{H}$とし，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分$\mathrm{OQ}$が直線$y=1$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．さらに点$\mathrm{F}(0,1)$をとる．四角形$\mathrm{PQHF}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の面のうち，線分$\mathrm{PQ}$が$1$回転してできる面の表面積を$S$とする．点$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くとき$S$の最大値を求めよ．

【２】　座標平面上の動点$\mathrm{Q}$が以下の規則(a)〜(f)に従って$1$秒ごとに移動する．

• (a)　原点$\mathrm{O}(0,0)$を出発点とし，まず点$(1,0)$または点$(0,1)$または点$(0,\mathrm{-1})$に，それぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で移動する．
• (b)　ある時刻に点$(x-1,y)$から点$(x,y)$に移動したならば，その$1$秒後には点$(x+1,y)$または点$(x,y+1)$または点$(x,y-1)$に，それぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で移動する．
• (c)　ある時刻に点$(x,0)$から点$(x,1)$に移動したならば，その$1$秒後には点$(x,2)$または点$(x+1,1)$に，それぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で移動する．
• (d)　ある時刻に点$(x,0)$から点$(x,\mathrm{-1})$に移動したならば，その$1$秒後には点$(x,\mathrm{-2})$または点$(x+1,\mathrm{-1})$に，それぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で移動する．
• (e)　ある時刻に点$(x,1)$または点$(x,\mathrm{-1})$から点$(x,0)$に移動したならば，その$1$秒後には点$(x+1,0)$に移動する．
• (f)　直線$y=2$上の点または直線$y=\mathrm{-2}$上の点に達した場合には停止する．

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$n$を正の整数とするとき，$\mathrm{Q}$がある時刻に点$(n-1,0)$に位置し，かつその$1$秒後に点$(n,0)$に移動している確率を$p_n$とする．また$\mathrm{Q}$がある時刻に点$(n-1,1)$に位置し，かつその$1$秒後に点$(n,1)$に移動している確率を${p^{\prime }}_n$とする．$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p^{\prime }}_1\text{，}{p^{\prime }}_2$を，それぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{Q}$が直線$x=2$上の点に達する確率，および直線$x=3$上の点に達する確率をそれぞれ求めよ．

(3)　$m$を正の整数とするとき，$\mathrm{Q}$が点$(m,0)$に達する確率を$m$で表せ．

【３】　$ad-bc=1\text{，}a>0$を満たす整数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を考える．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}6& 10\\ 10& 17\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\text{，}M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}N=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$

が$NA=B{M}^{\mathrm{-1}}$を満たすとき，以下の各問いに答えよ．ただし，$M^{\mathrm{-1}}$は$M$の逆行列を表す．

(1)　$6a^2+20ac+17c^2$の値を求めよ．

(2)　$2a^2+b^2$の値を求めよ．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

(4)　$6x^2+20xy+17y^2=59$を満たす実数$x\text{，}y$に対して

$\{\begin{array}{c}X=dx-by\\ Y=-cx+ay\end{array}$

とおくとき，$X^2+2Y^2$の値を求めよ．

(5)　$6x^2+20xy+17y^2=59$を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ．