2007　信州大学　前期　理，医学部

【１】　$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2-4x+k=0$の解を$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし，重解の場合は$\alpha =\beta$とする．

(1)　${\alpha }^2+{\beta }^2$を，$k$を用いて表せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$が実数解のとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$の最小値を求めよ．また，このときの$\alpha \text{，}\beta \text{，}k$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　円周上に図のように相異なる$8$つの点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$がある．これらの$8$点を$4$点ずつ$2$組に分けて，各組で$4$点を頂点とする四角形をかく．このとき，$2$つの四角形が交わるような$8$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$の分け方は何通りあるか．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$が

$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}$

を満たすとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を求めよ．

【３】　$m\text{，}n$を自然数とし，$m$は奇数とする．$f(x)=x^2+mx+n$とするとき，方程式

$f(f(x))+mf(x)-n^2-2mn-n=0$

は，複素数の範囲で相異なる$4$つの解をもつことを示せ．

【４】　$a>0$とする．曲線$y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,a^2)$における接線を$l_1$とし，点$\mathrm{A}$において$l_1$と垂直に交わる直線を$l_2$とする．曲線$y=x^2$と直線$l_2$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，直線$l_1\text{，}{l}_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．

(1)　$S_1$を，$a$を用いて表せ．

(2)　$S_1={S_2}^3$を満たす$a$の値を求めよ．

【５】　次の各数列$\{a_n\}$について，極限${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_2+a_4+\cdots +a_{2n}}{a_1+a_2+\cdots +a_n}}$を調べよ．

(1)　$a_n=c{r}^n\text{（}c>0\text{，}r>0\text{）}$

(2)　$a_n={\displaystyle \frac{1}{n^2+2n}}$

【６】　$a$を実数とし，${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+ax+a}}$は，すべての実数$x$に対し$f(x)>0$とする．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　関数$yf(x)$が最大値をとるときの$x$の値$p$を，$a$を用いて表せ．

(3)　曲線$y=f(x)$の$2$つの変曲点の座標を，$a$を用いて表せ．

(4)　(2)の$p$に対して$\mathrm{P}(p,f(p))$とし，(3)の変曲点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}$とする．$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積のとりうる値の範囲を求めよ．

【７】　$a\text{，}b$が実数の範囲を動くとき，定積分

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(x-a\sin x-b\cos x)}^{2}dx$

の最小値を求めよ．また，そのときの$a\text{，}b$の値を求めよ．