2007　信州大学　後期　教育学部

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=60°$

とする．$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{BM}$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，$\mathrm{P}=\mathrm{B}\text{，}\mathrm{M}$の場合を除く．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{BP}:\mathrm{PM}=t:1-t$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．

(2)　$\mathrm{CP}$が$\mathrm{BM}$に垂直となりうるための$\cos \angle \mathrm{BOC}$の値の範囲を求めよ．

(3)　$\mathrm{BM}$を$2:1$に内分する$\mathrm{P}$に対して$\mathrm{CP}\perp \mathrm{BM}$となるとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【２】　数列$p_1\text{，}{p}_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_n\text{，}\cdots$は

$p_{n+2}=p_{n+1}+p_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{），}{p}_1=p_2=1$

を満たすとする．次の問に答えよ．

(1)　$E$を単位行列とするとき，$2$次行列$X$が

$X^2=X+E\cdots$(＊)

を満たすならば，次の等式が成り立つことを示せ：

$X_n=p_{n}X+p_{n-1}E\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　$A={\displaystyle \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 5& 1\end{array}\right)}$とおくと，$A$と$-A^{\mathrm{-1}}$は条件(＊)を満たすことを示せ．

(3)　(2)の行列$A$に対して，次の等式を満たす$2$次行列$M$を求めよ：

$A^n-{(-A^{\mathrm{-1}})}^n=p_{n}M\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

【３】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)\text{，}\mathrm{C}(0,\mathrm{-1})$について，$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$を$1-t:t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PQ}$を$1-t:t$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を$t$で表せ．

(2)　$\mathrm{R}$の軌跡の概形をかけ．

(3)　$\mathrm{R}$の軌跡と$x$軸および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　曲線$y=-x^2+4x$の$0\leqq y$の部分を$C$とし，$C$と$x$軸との交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なる点を$\mathrm{A}$とする．図のように$C$上に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{O}$と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{O}$の順に並ぶようにとる．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$\mathrm{P}(t,-t^2+4t)$とする．$\mathrm{Q}$における$C$の接線が$\mathrm{OP}$と平行になるように$\mathrm{Q}$をとるとき，$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．

(2)　(1)において$t$を$0<t<4$の範囲で変化させるとき，四角形$\mathrm{OAPQ}$の面積の最大値を求めよ．