2007　信州大学　後期　理学部数IAIIBMathJax

【１】　$a>0\text{，}b>1$とする．このとき，方程式

${\displaystyle \frac{16}{{\log }_{x}b}-\frac{16{\log }_{3}a}{({\log }_{2}b)({\log }_{3}2)}}+{\log }_{x}b=0$

が$x>1$の範囲で異なる$2$つの実数解をもつような点$(a,b)$の存在する領域を図示せよ．

【２】　さいころを投げて$5$以上の目が出たら$2$点を，$4$以下の目が出たら$1$点を得る．さいころを$n$回投げたときまでに得た点の合計が偶数である確率を$p_n$とする．ただし，さいころはどの目も同じ確率で出るものとする．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$を求めよ．

(2)　一般の$n$に対して，$p_n$を求めよ．

【３】　座標平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)$がある．

(1)　$k$を正の定数とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{AP}}=k}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求め，軌跡を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が直線$y=1$上を動くとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{AQ}}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　$a>0\text{，}b>0\text{，}c>0$とし，$f(x)=a{x}^2+bx+c$とする．次の不等式を示せ．

$0<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n}}f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)-{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx\leqq {\displaystyle \frac{4a+3b}{6n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$