2007　信州大学　後期　理学部数IIIC

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^3}{x-4}dx}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{1}{\cos x}dx}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k\sin \frac{k\pi }{2n}}$を求めよ．

【２】　$a>\mathrm{-1}$とする．曲線$y=x^3-x$において，傾きが$a$である$2$本の接線を$l_1\text{，}{l}_2$とし，$l_1$上の$1$点と$l_2$との距離を$f(a)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l_1\text{，}{l}_2$の方程式を求めよ．

(2)　$f(a)$を求めよ．

(3)　$k$を正の定数とするとき，$f(a)=k$を満たす$a$は，$a>\mathrm{-1}$の範囲にただ$1$つあることを示せ．

【３】　座標平面上に点${\displaystyle \mathrm{A}(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})}$がある．

(1)　$y$軸に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に，$\mathrm{B}$が$\mathrm{B}$に移るとき，この移動を表す行列を求めよ．

(2)　$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$が点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{A}$が点$\mathrm{Q}(-\cos \theta ,-\sin \theta )$に移るとき，この移動を表す行列を求めよ．