2007　名古屋大学　前期

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とし，$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の辺${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$を$2:1$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{″}\text{，}{\mathrm{B}}^{″}\text{，}{\mathrm{C}}^{″}$とする．このとき直線$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{″}\text{，}\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{″}\text{，}\mathrm{C}{\mathrm{C}}^{″}$は$▵\mathrm{ABC}$の重心で交わることを証明せよ．

【２】　$2$つの放物線$C:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\text{，}D:y=-{(x-a)}^2$を考える．$a$は正の実数である．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2)$における$C$の接線$l$を求めよ．

(2)　 $l$がさらに$D$とも接するとき，$l$を$C$と$D$の共通接線という．$2$本の（$C$と$D$の）共通接線$l_1\text{，}{l}_2$を求めよ．

(3)　共通接線$l_1\text{，}{l}_2$と$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】(a)　$p$を実数とする．方程式

$x^4+(8-2p)x^2+p=0$

が相異なる$4$個の実数解をもち，これらの解を小さい順に並べたときそれらは等差数列をなすとする．この$p$を求めよ．

【３】(b)　袋の中に赤と白の玉が$1$個ずつ入っている．「この袋から玉を$1$個取り出して戻し，出た玉と同じ色の玉を袋の中に$1$個追加する」という操作を$N$回繰り返した後，赤の玉が袋の中に$m$個ある確率を$p_N(m)$とする．

(1)　$p_3(m)$を求めよ．

(2)　一般の$N$に対し$p_N(m)$を求めよ．

【１】　$2$行$2$列の行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を考える．$a\text{，}b\text{，}d$が実数で$c=0$である行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right)$を上三角行列という．また，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とおく．

(1)　$A^2=E$をみたす上三角行列$A$をすべて求めよ．

(2)　$A^3=E$をみたす上三角行列$A$をすべて求めよ．

(3)　上三角行列$A$が$A^4=E$をみたすとき，$A^2=E$となることを示せ．

【２】(1)　関数$f(x)=2x^3-3x^2+1$のグラフをかけ．

(2)　方程式$f(x)=a$（$a$は実数）が相異なる$3$つの実数解$\alpha <\beta <\gamma$を持つとする．$l=\gamma -\alpha$を$\beta$のみを用いて表せ．

(3)　$a$が(2)の条件のもとで変化するとき$l$の動く範囲を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{（}{a}_n>0\text{）}$を次の規則によって定める：

$a_1=1\text{；}{\displaystyle {\int }_{a_n}^{a_{n+1}}}{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt[3]{x}}}=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$．

　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}$と，$x$軸および$2$直線$x=a_n\text{，}x=a_{n+1}$で囲まれた図形を$x$軸の回りに$1$回転させた回転体の体積を$V_n$とする．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{V}_n$を求めよ．

【４】(a)　原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円に，円外の点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$から$2$本の接線を引く．

(1)　$2$つの接点の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標$(x_1,y_1)$を点$\mathrm{P}$の座標$(x_0,y_0)$を用いて表せ．また$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=1$であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$x+y=2$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【４】(b)　袋の中に赤と黄と青の玉が$1$個ずつ入っている．「この袋から玉を$1$個取り出して戻し，出た玉と同じ色の玉を袋の中に$1$個追加する」という操作を$N$回繰り返した後，赤の玉が袋が袋の中に$m$個ある確率を$p_N(m)$とする．

(1)　連比$p_3(1):p_3(2):p_3(3):p_3(4)$を求めよ．

(2)　一般の$N$に対し$p_N(m)\text{（}1\leqq m\leqq N+1\text{）}$を求めよ．