2007　名古屋大学　後期理学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$のグラフの変曲点を求め，グラフの概形を描きなさい．

(2)　関数$y=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{x^2+1}}$のグラフの概形を描きなさい．

【２】　平面上の点の列${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{）}$を以下のように定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$

ただし，$t$は$0<t<2$をみたす定数とし，$a=1-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}\text{，}b=-{\displaystyle \frac{t}{2}}(2+t)\text{，}c={\displaystyle \frac{t}{2}}(2-t)$とする．

(1)　すべての$n$に対して，点${\mathrm{P}}_n$が楕円$x^2+{\displaystyle \frac{2+t}{2-t}}{y}^2=1$上にあることを示しなさい．

(2)　$t=1$とするとき，すべての$n$に対して${\mathrm{P}}_{n+N}={\mathrm{P}}_n$をみたす最小の自然数$N$を求めなさい．

(3)　$M$を$3$以上の自然数とする．このとき，すべての$n$に対して${\mathrm{P}}_{n+M}={\mathrm{P}}_n$が成り立つような$t\text{（}0<t<2\text{）}$が存在することを示しなさい．

【３】　$n$を自然数とする．平面上の$2n$個の点を$2$個ずつ組にして$n$個の組を作り，組となった$2$点を両端とする$n$本の線分を作る．このとき，どのような配置の$2n$個の点に対しても，$n$本の線分が互いに交わらないような$n$個の組を作ることができることを示しなさい．