2007　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数とする．曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{n}}{x}^{n+1}+1\text{（}x\geqq 0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(a,b)$における接線$l$が原点を通っている．ただし$a>0$とする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$x^2\tan x=1(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$がただ$1$つの実数解$\alpha$をもつことを示せ．

(2)　$\underset{x\to +0}{\lim }{e}^{-\frac{1}{x}}\cos x$を求めよ．

(3)　$c$を実数とする．方程式$e^{-\frac{1}{x}}\cos x=c(0<x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$が異なる$2$つの実数解をもつような$c$の値の範囲を(1)の$\alpha$を用いて表せ．

【３】　放物線$y^2=4px\text{（}p>0\text{）}$上に$4$点があり，それらを$y$座標の大きい順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$は放物線の焦点$\mathrm{F}$で垂直に交わっている．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{FA}}$が$x$軸の正の方向となす角を$\theta$とする．

(1)　線分$\mathrm{AF}$の長さを$p$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{AF}\cdot \mathrm{CF}}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{BF}\cdot \mathrm{DF}}}$は$\theta$によらず一定であることを示し，その値を$p$を用いて表せ．

【４】　$x$軸上を点$\mathrm{A}$が次の規則にしたがって動くとする．

　点$\mathrm{A}$は最初に原点にあるとする．

(1)　$3$回サイコロを振った後の点$\mathrm{A}$が$x=2$にある確率を求めよ．

(2)　$n$を自然数，$k$を$0\leqq k\leqq n$をみたす整数とする．$n$回サイコロを振った後の点$\mathrm{A}$が$x=k$にある確率$p_k$を求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．$n$回サイコロを振った後の点$\mathrm{A}$の$x$座標の期待値$E_n$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n$を求めよ．