2007　高知大学　前期MathJax

【１】　$a$は定数とする．

$f(\theta )=a(\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta )-(\sqrt{3}\sin 2\theta +\cos 2\theta )+a+1$

について，次の問いに答えよ．ただし，$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする．

(1)　$\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$を$r\sin (\theta +\alpha )$の形に変形せよ．ただし，$r>0$とする．

(2)　関数$y=\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$のグラフの概形をかけ．

(3)　$t=\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$とおくとき，$f(\theta )$は次のように表されることを示せ．

$f(\theta )=t^2+at+a-1$

(4)　方程式$f(\theta )=0$が相異なる$3$つの実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=6\text{，}\mathrm{OB}=5\text{，}\mathrm{AB}=4$である．辺$\mathrm{OA}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．

(3)　$\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{\mathrm{AD}}$となるときの$t$の値を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{\mathrm{AD}}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となることを示せ．

【３】　$xy$平面で，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点とよぶ．$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の範囲にあるすべての格子点$(m,n)$に，右図のような規則で番号をふる．ただし，右図において，$◯$の中の数字がその格子点の番号である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　格子点$(0,n)$の番号を$n$を用いて表せ．

(2)　格子点$(2,25)$の番号を求めよ．

(3)　格子点$(m,n)$の番号を$m\text{，}n$を用いて表せ．

【４】　$xy$平面上の放物線$C:y=x^2+1$について考える．直線$y=x$上に点$\mathrm{A}(a,a)$をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$を通り，放物線$C$に接する$2$直線を求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$直線と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$S(a)$を最小にする$a$を求めよ．

【１】　$a$は定数とする．

$f(\theta )=a(\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta )-(\sqrt{3}\sin 2\theta +\cos 2\theta )+a+1$

について，次の問いに答えよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)　$\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$を$r\sin (\theta +\alpha )$の形に変形せよ．ただし，$r>0$とする．

(2)　関数$y=\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$のグラフの概形をかけ．

(3)　$t=\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$とおくとき，$f(\theta )$を$t$を用いて表せ．

(4)　方程式$f(\theta )=0$が相異なる$3$つの実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

【２】　$3$個の空間ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$は原点に始点をもつ長さ$1$のベクトルである．これらの内積の和

$t=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を固定して，$\overrightarrow{a}$のみを動かす．このとき，$t$の最小値は$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}-|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を自由に動かしたときの$t$の最小値を求めよ．

(3)　(2)の最小値を与えるベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$の終点はどのような$3$角形を作るか．

【３】　$xy$平面で，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点とよぶ．$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の範囲にあるすべての格子点$(m,n)$に，右図のような規則で番号をふる．ただし，右図において，$◯$の中の数字がその格子点の番号である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　格子点$(0,n)$の番号を$n$を用いて表せ．

(2)　格子点$(m,n)$の番号$m\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　番号が$2007$となる格子点の座標を求めよ．

【４】　整数$n\text{（}n\geqq 0\text{）}$に対して$S_n={\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^{n}dx$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x{(\log x)}^n$の導関数を求めることにより，$S_n=e-n{S}_{n-1}\text{（}n\geqq 1\text{）}$であることを示せ．

(2)　初項$a_1=0\text{，}$漸化式$a_n=1-n{a}_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を満足する数列$\{a_n\}$を用いて，$S_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$は次のように表せることを数学的帰納法を用いて示せ．

$S_n=a_{n}e+{(-1)}^{n+1}n!$

(3)　(2)の数列$\left\{a_n\right\}$は次を満足することを示せ．

${\displaystyle \frac{{(-1)}^n{a}_n}{n!}}={\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{k!}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n!}}=0$を示し，それを用いて，次が成り立つことを示せ．

$e^{-1}={\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{n!}}$

【１】　$k$を正の実数とする．円$x^2+y^2=1$上の点$(x,y)$の$y$座標だけを$k$倍して得られる楕円を$E_k$とし，$E_k$上の点$(\cos \theta ,k\sin \theta )(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における接線が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$(f(k)\text{，}0)\text{，}(0,g(k))$と表す．

(1)　$E_k$の方程式を求め，概形をかきなさい．

(2)　$f\left(x\right)\text{，}g\left(x\right)$はともに微分可能であることを示しなさい．

(3)　楕円$E_k$の焦点を${\mathrm{F}}_k\text{，}{{\mathrm{F}}_k}^{\prime }$とする．ただし，$k=1$のときは${\mathrm{F}}_1\text{，}{{\mathrm{F}}_1}^{\prime }$をともに原点とする．楕円$E_k$上の点$\mathrm{P}$に対し，$h(k)=\mathrm{P}{\mathrm{F}}_k+\mathrm{P}{{\mathrm{F}}_k}^{\prime }$とおく．このとき，

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{h(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x)-h(1)}{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x}}\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{h(1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x)-h(1)}{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x}}$

をそれぞれ求め，$h(x)$の微分可能性について述べなさい．

(4)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，接線と楕円$E_k\text{，}x$軸，$y$軸で囲まれる図形は接点$(\cos \theta ,k\sin \theta )$で二つの領域に分けられるが，この領域の面積比を求めなさい．

【２】　すべての成分が$1$または素数である行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^2-8A+12E=O$をみたしているとする．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$である．このとき，以下の各問に答えなさい．

(1)　$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$が成り立つことを証明しなさい．

(2)　題意をみたす$A$をすべて求めなさい．

(3)　$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$をみたす実数$k$と列ベクトル$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$が存在する．ただし，$k\ne 0$かつ$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$である．$k$を求めなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{6^n}}{A}^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$と表したとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n={\displaystyle \frac{1}{4}}$かつ$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n={\displaystyle \frac{3}{4}}$

をみたしているとする．このとき，$A$を求めなさい．

【３】　関数$f(x)={(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x\text{（}x>0\text{）}$について，以下の各問に答えなさい．

(1)　$x>0$のとき，$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$を求めなさい．

(3)　$f(x)$の増減を調べなさい．

(4)　次式が成り立つことを示しなさい．

$\log f\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)+n{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^1}\log f(x)dx<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)<\log 2+n{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^1\log f(x)dx}$

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\{f({\displaystyle \frac{1}{n}})f({\displaystyle \frac{2}{n}})f({\displaystyle \frac{3}{n}})\cdots f({\displaystyle \frac{n}{n}}\left)\right\}}^{\frac{1}{n}}$を求めなさい．