2007　九州大学　後期MathJax

【１】　$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1,4)\text{，}\mathrm{B}(4,-2,2)\text{，}\mathrm{C}(2,2,-2)$を頂点とする四面体において，頂点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$頂点$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{OBC}$を含む面に下ろした垂線とその面との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OBC}$の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　平面上の点の移動（$1$次変換）に関する以下の問いに答えよ．

(1)　直線$y=-x$に関する対称移動を表す行列$A$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を原点を中心として正の向き（反時計回り）に$60$度回転し，さらに直線$y=-x$に関して対称移動したときの点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．点$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}^{\prime }$に移す移動を表す行列$B$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}(1,0)$に対して$B$で表される移動を$3$回行った点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(4)　$B$で表される移動により点$\mathrm{S}$が点$(1,1)$に移動したとする．点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．

【３】　関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\log x& \text{（}x>0\text{）}\\ 0& \text{（}x=0\text{）}\\ |x\log |x||& \text{（}x<0\text{）}\end{array}$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$t\geqq 0$のとき，不等式$e^t\geqq 1+t+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^t}{t}}=+\infty$と$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を証明せよ．

(3)　$a$を実数の定数とするとき，$x$についての方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を求めよ．

(4)　$S=\underset{c\to +0}{\lim }{\displaystyle {\int }_c^1}|f(x)|dx$の値を求めよ．

【４】　$1$つのさいころを振り偶数の目が出たら持ち点を$2$倍にし，奇数の目が出たら持ち点を$0.5$倍して小数点以下を切り捨てる．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　初めの持ち点を$10$点とする．さいころを$7$回投げた後に持ち点が$50$点以上である確率$P$を求めよ．

(2)　初めの持ち点を$3$点とする．さいころを$5$回投げた後に持ち点が$5$点以上である確率$Q$を求めよ．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の長さを$x\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さを$y\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の長さを$z$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$y=4\text{，}z=4$とする．$x$が$4$から$7$までの値をとるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$x\text{，}y\text{，}z$がいずれも$4$から$7$までの値をとるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値と最小値を求めよ．