2007　佐賀大学　前期

【１】　右図のような四角形において，対角線の長さを$l\text{，}$$m\text{，}$対角線のなす角を$\theta$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　四角形の面積$S$を$l\text{，}$$m\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　対角線の長さの和が$k$（定数）となる四角形の中で，その面積が最大となるものの面積を求めよ．

【２】　次の命題について，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(1)　有理数と有理数の和は有理数である．

(2)　無理数と無理数の和は無理数である．

(3)　無理数と無理数の積は無理数である．

(4)　無理数の無理数乗は無理数である．

【３】　$p\text{，}$$q$を定数とする．数列$\{a_n\}$が

$a_{n+1}=3a_n+pn+q$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_3-a_2=a_2-a_1$が成り立つとき，初項$a_1$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　(1)の関係が成り立つとき，数列$(a_n)$は等差数列であることを証明せよ．

【４】　$a$が正の値をとりながら動くとき，

$I(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|(x-a)(x-2a)|\mathit{dx}$

が最小となる$a$の値を求めよ．

【１】　平行六面体$\mathrm{OABC‐DEFG}$において，辺$\mathrm{AB}$を$3:1$の比に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{DG}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，以下の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{EM}$を$t:(1-t)$の比に分ける点を$\mathrm{I}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{LN}$を$s:(1-s)$の比に分ける点を$\mathrm{J}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{EM}$と線分$\mathrm{LN}$とが交わることを示し，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，比$\mathrm{EH}:\mathrm{HM}$を求めよ．

【２】　以下の問に答えよ．

(1)　$0\mathrm{°}<\alpha <90\mathrm{°}$とする．角$\beta$が$\alpha -\beta =90\mathrm{°}-\alpha$を満たすとき，

$\tan \beta ={\displaystyle \frac{{\tan }^2\alpha -1}{2\tan \alpha }}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$f(x)=x^2-x+1$とし，放物線$y=f(x)$の点$(a,f(a))$における接線を$l_1$とする．$l_1$と$x$軸とのなす角を$\alpha$$\text{（}0\mathrm{°}<\alpha <90\mathrm{°}\text{）}$とするとき，$\tan \alpha$を$a$を用いて表せ．

(3)　$l_1$に関して直線$x=a$と対称な直線を$l_2$とするとき，$l_2$の方程式を求めよ．

(4)　$a$の値にかかわらず，$l_2$は定点を通ることを示し，その座標を求めよ．

【３】　関数

$f(x)=8\cdot {16}^x-3\cdot 8^{x+1}+14\cdot 4^x+3\cdot 2^{x+2}-9$

について，以下の問に答えよ．

(1)　$2^x=t$とおいて，$f(x)=g(t)$となる$t$の多項式$g(t)$を求めよ．

(2)　関数$g(t)$$\text{（}t>0\text{）}$のグラフをかけ．

(3)　不等式

$f(x)>0$

を解け．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$について，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．

(1)　$f(2)\text{，}$$f(3)\text{，}$$f(4)$の大小関係を調べよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{\log 2}{2}}$とで囲まれる図形の面積が

${\displaystyle \frac{3}{2}}{(\log 2)}^2-\log 2$

であることを示せ．

【３】　以下の問に答えよ．

(1)　$c>0\text{，}$$c\ne 1$とするとき，

$-{\log }_{c}x={\log }_{\frac{1}{c}}x$

が成り立つことを示せ．

(2)　$c>1$とするとき，関数$y={\log }_{c}x$のグラフをもとにして，関数

$y={\log }_c(x-2)$および$y=2{\log }_{\frac{1}{c}}(x-2)$

のグラフをかけ．

(3)　$c>1$とするとき，$x$の不等式

${\log }_{c}x\geqq 2{\log }_{\frac{1}{c}}(x-2)$

を解け．

【４】　放物線$y=x^2$を$C$とする．点$(a,a^2-9)$を通る$C$の$2$つの接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とし，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とする．以下の問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$l$と$C$とで囲まれる図形の面積が，$a$の値にかかわらず，一定であることを示せ．