2007　長崎大学　前期

【１】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_a^x}(t^2-t)\mathit{dt}$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数の定数とする．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極大値および極小値を，$a$を用いて表せ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸が異なる$3$点で交わるための$a$の範囲を求めよ．

【２】　$m$は正の定数とする．関数

$f(x)=x^3-(2m+1)x^2+m^{2}x$

について，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$は$0$以外に相異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　方程式$f(x)=0$の$0$以外の解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\alpha +\beta$および$\alpha \beta$を$m$を用いて表せ．また$\alpha \text{，}$$\beta$がともに正であることを示せ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形について，$y\geqq 0$の範囲にある部分の面積と$y\leqq 0$の範囲にある部分の面積が等しいものとする．そのとき，$m\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

【３】　次の連立不等式が表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}y+1\leqq 2x\leqq 4-y\\ 2y\geqq 1\end{array}$

　次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$と放物線$y=p{x}^2$が共有点を持つような定数$p$の範囲を求めよ．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$において辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の中点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．さらに，線分$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$が成り立つことを示せ．

(2)　辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$を$2:1$に内分する点を，それぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1$とする．また，線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1$を$2:1$に内分する点を，それぞれ${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2$とする．$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．

(3)　線分${\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$と線分$\mathrm{QR}$が平行であることを示せ．

(4)　$\mathrm{▵PQR}$の面積を$S$とするとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$の面積を$S$を用いて表せ．

【５】　$n$は$2$以上の自然数とする．関数

$f_n(x)=x^n\log x$$\text{（}x>0\text{）}$

について，次の問いに答えよ．ただし，$\underset{x\to +0}{\lim }{x}^n\log x=0$であることを用いてよい．

(1)　関数$y=f_n(x)$の増減，凹凸を調べ，グラフをかけ．

(2)　関数$y=f_n(x)$の最小値を$L_n$とするとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{L_{n+1}}{n}}$の和を求めよ．

(3)　曲線$y=f_n(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．

(4)　$k$を定数とするとき，$x$に関する方程式

$x^n\log x=x+k$$\text{（}x>0\text{）}$

の解の個数を調べよ．

【６】　曲線$C\text{：}y=\log x$の点$(1,0)$における接線を$l_1$とする．曲線$C$と直線$l_1$および直線$l_2\text{：}x=e$で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めたい．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　$x$軸と直線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V_1$を求めよ．

(3)　$2$次の多項式$P(x)=a{x}^2+bx+c$が，次の条件

${\{xP(\log x)\}}^{\prime }={(\log x)}^2$$\text{（}x>0\text{）}$

を満たすような，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(4)　体積$V$を求めよ．

【７】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}6(t-\alpha )(t-\beta )\mathit{dt}$を考える．ただし，$0<\alpha <\beta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(\alpha )>0$であることを示せ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフ上で$f(x)$の極大値を表す点を$\mathrm{P}\text{，}$極小値を表す点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の傾き$h$を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$を$m:n$に内分する点の$x$座標を$r$とし，曲線$y=f(x)$上の$x=r$に対応する点における接線の傾きを$k$とする．${\displaystyle \frac{m}{m+n}}=s$とおくとき，$k$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$s$を用いて表せ．さらに，${\displaystyle \frac{k}{h}}$の最大値を求めよ．

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