2007　熊本大学　前期

【１】　$a$を定数とする．$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=-x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=3{(x-1)}^2+a$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在するための$a$の条件を求めよ．

(2)　$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する$2$本の直線が，直交するときの$a$の値を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する$2$本の直線が，${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の角度で交わるときの$a$の値を求めよ．

【２】　$xy$平面上で，点$\mathrm{P}$は原点を出発点とし，さいころを$1$回投げるたびに以下のように進むものとする．$1$または$2$の目が出たときは$x$軸方向に$1$だけ進み，$3$の目が出たときは$x$軸方向に$-1$だけ進み，$4$または$5$の目が出たときは$y$軸方向に$1$だけ進み，$6$の目が出たときは$y$軸方向に$-1$だけ進む．以下の問いに答えよ．

(1)　さいころを5 回投げるとき，点$\mathrm{P}$が座標$(2,-3)$の位置にいる確率を求めよ．

(2)　さいころを$n$回投げるとき，点$\mathrm{P}$が$x$軸上のみを動いて最後に原点にいる確率を求めよ．

(3)　さいころを$2$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標の期待値を求めよ．

【３】　行列$A$の表す移動によって$xy$平面上の点$(0,1)\text{，}$$(1,2)$はそれぞれ$(1,1)\text{，}$$(2,1)$に移されるとする．以下の問いに答えよ．

(1) 行列$A$を求めよ．

(2)曲線$y=e^x$上を点$\mathrm{P}$$(t,e^t)$が動くとき，$\mathrm{P}$がこの移動によって移る点の軌跡$C$を求めよ．ただし，$-\infty <t<\infty$とする．

(3)　曲線$D$を$y=x+\log (e+{\displaystyle \frac{1}{e}}-x)$とする．ただし，$x<e+{\displaystyle \frac{1}{e}}$である．$2$つの曲線$C$と$D$で囲まれる領域の面積を求めよ．

【４】　$a$を定数とする．方程式${(\log x)}^2=ax$$\text{（}x>0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　解の個数を調べよ．必要なら，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x}}=0$を用いよ．

(2)　解がちょうど$2$個のとき，これらの解を$p^2\text{，}$$q^2$$\text{（}0<p<q\text{）}$とおく．$q$の値を求めよ．また，$p$は${\displaystyle \frac{e}{e+1}}<p<1$を満たすことを示せ．

【１】　$xy$平面上で，点$\mathrm{P}$は原点を出発点とし，さいころを$1$回投げるたびに以下のように進むものとする．$1$または$2$の目が出たときは$x$軸方向に$1$だけ進み，$3$の目が出たときは$x$軸方向に$-1$だけ進み，$4$または$5$の目が出たときは$y$軸方向に$1$だけ進み，$6$の目が出たときは$y$軸方向に$-1$だけ進む．以下の問いに答えよ．

(1)　さいころを5 回投げるとき，点$\mathrm{P}$が座標$(2,-3)$の位置にいる確率を求めよ．

(2)　さいころを$4$回投げるとき，点$\mathrm{P}$が$x$軸上のみを動いて最後に原点にいる確率を求めよ．

(3)　さいころを$2$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標の期待値を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$の$6$つの辺の長さを

$\mathrm{OA}=\sqrt{10}\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{OC}=\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{AC}=2\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のいずれとも直交することを示せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　$a$を定数とする．$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=-x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=3{(x-1)}^2+a$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在するための$a$の条件を求めよ．

(2)　$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する$2$本の直線が，直交するときの$a$の値を求めよ．

【４】　数列$\{x_n\}$および$\{y_n\}$は以下の条件を満たしているものとする．

$x_1=8\text{，}$$y_1=-5$

$x_{n+1}=2x_n+y_n+3n-8$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$y_{n+1}=2y_n+x_n-3n+8$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　$z_n=x_n+y_n\text{，}$また$w_n=x_n-y_n$とおく．数列$\{z_n\}$および$\{w_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$xy$平面上の点$(x_n,y_n)$と直線$y=x$との距離が最小になるような$n$の値をすべて求めよ．