2007　大分大学　前期

【１】　行列$A\text{，}$$B$を$A=\left(\begin{array}{cc}1-\sqrt{2}& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1-\sqrt{2}\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& \sqrt{2}\end{array}\right)$とおく．

(1)　積$AB$を求めなさい．

(2)　$AB$の逆行列${(AB)}^{-1}$を求めなさい．

(3)　${(AB)}^{-1}+A^{-1}$を求めなさい．

【２】　$n$を自然数とするとき，和

$S_n=n+(n-1)x$$+(n-2)x^2$$+\cdots +x^{n-1}$

について，次の問いに答えなさい．

(1)　$x\ne 1$のとき，$(1-x)S_n$を求めなさい．

(2)　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$S_1+S_2+\cdots +S_n$を求めなさい．

【３】　$a$を定数とする．関数$f(x)=4x^3-3(a+2)x^2+6ax+1$は$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$で極大値をとる．

(1)　$a$の値を求め，曲線$y=f(x)$の概形をかきなさい．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\cos \theta )$の最大値，最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めなさい．

【４】　$a$を正の定数とする．関数$f(x)$は$x\geqq a$で

${\displaystyle {\int }_a^x}f(t)\mathit{dt}=x\log 2x-x$

を満たす．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$f(x)$を求めなさい．

(2)　$a$の値を求めなさい．

【２】　$r\text{，}$$s$を$0$でない定数とする．$x\text{，}$$y$に関する不等式

${\displaystyle \frac{{(x-1)}^2+y^2}{r}}-{\displaystyle \frac{x^2+{(y-2)}^2}{s}}\geqq 0$

の表す領域について，次の問いに答えなさい．

(1)　$r=s=1$のときの領域を図示しなさい．

(2)　$r=2\text{，}$$s=3$のときの領域を図示しなさい．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{BP}:\mathrm{PE}\text{，}$$\mathrm{CP}:\mathrm{PD}$を求めなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$に関する内積を，それぞれ$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=x\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=y\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=z$とおく．$\mathrm{▵ABC}$の面積を$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を使って表しなさい．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$6(x-y)=xy$をみたす自然数の組$x\text{，}$$y$をすべて求めよ．

(2)　$7(x+y+z)=2(xy+yz+zx)$をみたす自然数の組$x\text{，}$$y\text{，}$$z$$\text{（}x\leqq y\leqq z\text{）}$をすべて求めよ．

【２】　$n\geqq 2$を自然数とする．

(1)　関数$f(x)=nx-1+{(1-x)}^n$の極値を求めよ．

(2)　次の不等式を示せ．

(ⅰ)　$(1-x^2)e^x\leqq 1+x\leqq e^x$$\text{（}x\geqq -1\text{）}$

(ⅱ)　$0\leqq e^x-{(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^n\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{n}}{e}^x$$\text{（}x\geqq -n\text{）}$

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{\displaystyle \frac{1}{k}}\cos k\pi \text{，}$$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{3n}}{\displaystyle \frac{1}{k}}\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{3}}$

によって定義する．

(1)　$a_n=-{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{2n}}{\displaystyle \frac{1}{k}}$を示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．