2007　宮崎大学　前期

【１】　微分と積分に関する次の各問に答えよ．

(1)　次の関数を微分せよ．

(ⅰ)　$y=e^{\cos x}$(ⅱ)　$y={(\log |x|)}^2$

【１】　微分と積分に関する次の各問に答えよ．

(2)　次の定積分の値を求めよ．

(a)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}{\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}\mathit{dx}$(b)　${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\log x}{x}}\mathit{dx}$

(c)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{3}x\mathit{dx}$

【２】　実数$\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$が等式

${\displaystyle \frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta -\cos \theta }}=3+2\sqrt{2}$

を満たすとき，$x>0$の範囲で関数

$f(x)=({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{2\sin \theta }})({\log }_4{\displaystyle \frac{x}{4\sin \theta }})$

が最小となる$x$の値と，そのときの最小値を求めよ．

【３】　座標平面上の$3$点を$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,0)$とし，$\mathrm{▵ABC}$の内部の点を$\mathrm{P}$$(a,b)$とする．ただし，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{▵ABC}$の周上にはないものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{BC}$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　原点$\mathrm{O}$と直線$l$の距離が${\displaystyle \frac{4}{5}}$より小さくなるような点$\mathrm{P}$のとりうる範囲を図示せよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．$\mathrm{▵OAC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，$2$直線$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BG}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CR}}$であるとき，$\mathrm{OA}$の長さを求めよ．さらに，$\mathrm{CR}$の長さを求めよ．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$について，次の各問に答えよ．

(1)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$と$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$をそれぞれ求めよ．また，関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$n$を自然数とするとき，直線$y=2^{-n}$と曲線$y=f(x)$によって囲まれる部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S_n$について，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }(S_{n+1}-S_n)$を求めよ．

【５】　次の各問に答えよ．

(1)　$x\geqq 1$のとき，不等式$\log x<2\sqrt{x}$が成り立つことを示せ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　$n$を自然数とするとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{(n+1)}^{\frac{1}{n}}$を求めよ．

(3)　$n$を自然数とするとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\{{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(2+\sin x)}^n\mathit{dx}\}}^{\frac{1}{n}}=3$

であることを示せ．

【１】　数列$\{a_n\}$が，

$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められるとき，次の各問に答えよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を，$n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を，$n$を用いて表せ．

【２】　曲線$C\text{：}y=-x^2+2x$と，直線$l\text{：}y=a$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{Q}$$(b,a)\text{，}$$\mathrm{R}$$(c,a)$$\text{（}b<c\text{）}$をもつとする．直線$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$$(0,a)$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$を$1:2$に内分するとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　(1)で求めた$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対し，曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線$m$の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$を通り，$y$軸に平行な直線を$n$とする．(2)で求めた接線$m\text{，}$曲線$C\text{，}$および直線$n$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　最初$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人は数直線上の原点にいるとする．はじめに$\mathrm{A}$が$2$回サイコロを投げる．$1$回サイコロを投げるごとに，現在いる地点から，サイコロの目が$4$以下であれば数直線上を正の方向に$1$進み，$5$または$6$であれば正の方向に$2$進む．

　次に$\mathrm{B}$が$2$回サイコロを投げる．$1$回サイコロを投げるごとに，現在いる地点から，サイコロの目が$4$以下であれば数直線上を負の方向に$1$進み，$5$または$6$であれば正の方向に$3$進む．

　このように$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がそれぞれ$2$回ずつサイコロを投げ，進み終えたときの数直線上の$2$人の位置をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a\leqq b$となる確率を求めよ．

(2)　$a-b=c$とするとき，$c$の期待値を求めよ．