2007　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$は実数で，関数

$f(x)=2^{3x}-a{2}^{2x}+a{2}^{x+1}-b$

のグラフは$x$軸と相異なる$3$点$0\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$で交わるものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$2^x=t$とおいて，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とする．$g(t)$を求めよ．

(2)　$b$および$\alpha +\beta$を，$a$を用いて表せ．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta$が

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}({\displaystyle \frac{2}{3}}t+1)\mathit{dt}=2(\beta -\alpha )$

を満たすとき，$a$の値を求めよ．さらに，そのときの$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

【２】　次の各問いに答えよ．

(1)　微分可能な$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$の積$f(x)g(x)$の導関数を定義に従って求めよ．

(2)　$a$を実数とするとき，関数$y={(1+x^2)}^a$の導関数を求めよ．

(3)　関数$y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$の増減，グラフの凹凸，漸近線を調べ，グラフの概形をかけ．

(4)　$n$が正の整数であるとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$\sqrt{1+n^2}-1$$<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}+{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{\sqrt{1+n^2}}}$

【３】　次の各問いに答えよ．

(1)　$10$桁の自然数で，各桁の数の合計がちょうど$3$になるものはいくつあるか．

(2)　$10$桁以下の自然数で，各桁の数の合計がちょうど$4$になるものはいくつあるか．

(3)　右から読んでも左から読んでも同じ数になる自然数を「回文数」と呼ぶ．例えば$1233321\text{，}$$467764$は回文数であるが，$12333210$は回文数ではない．$10$桁以下の自然数の中に回文数はいくつあるか．

【４】　$4$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}$$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})\text{，}$$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})\text{，}$$\mathrm{D}(\overrightarrow{d})$を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$について，ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて，次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の重心$\mathrm{G}$の位置ベクトル$\overrightarrow{g}$と，$\mathrm{▵BCD}$の重心$\mathrm{H}$の位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{G}$を通る直線$l_1$の方程式を求めよ．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{H}$を通る直線$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　(2)の$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$は交点を持つことを示し，その交点の位置ベクトルを求めよ．

【５-１】　$2$次の正方行列$A\text{，}$$B$について，次の各問いに答えよ．

(1)　${(A-B)}^2=A^2-2AB+B^2$となるための必要十分条件は$AB=BA$であることを示せ．

(2)　$E$を単位行列とする．行列$P$を用いて$A=P+E$と表されるとき，行列$X$について$AX=XA$となるための必要十分条件は$PX=XP$であることを示せ．

(3)　$q$は$0$でない数とする．$A=\left(\begin{array}{cc}p+1& 0\\ q& 1\end{array}\right)$のとき，$AX=XA$となる行列$X$は$X=kA+lE$$\text{（}k\text{，}$$l$は実数）の形に表されることを示せ．

【５-２】　次のように，円$C_1$は直交座標に関する方程式で表され，曲線$C_2$は極方程式で表されている．

$C_1\text{：}{x}^2+y^2+6x-2y+7=0$

$C_2\text{：}r={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-\sin \theta }}$

　このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　円$C_1$を媒介変数を用いて表せ．

(2)　曲線$C_2$はどんな曲線になるか．また，その概形もかけ．

(3)　円$C_1$の中心を通り曲線$C_2$に接する直線の方程式を求めよ．

【５-３】　$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームは毎日$1$回野球の試合をする．毎回勝敗を決定し，引き分けはないものとする．どちらかのチームが$3$連勝したときにそのチームの優勝とする．$1$回目の試合では，$\mathrm{A}$チームの勝つ確率は$\mathrm{B}$チームの勝つ確率の$2$倍である．また，$2$回目の試合からは，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は，前日の試合で勝ったときは$\mathrm{B}$チームの勝つ確率の$2$倍であり，負けたときは$\mathrm{B}$チームの勝つ確率の${\displaystyle \frac{1}{3}}$倍である．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$1$回目の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率$P_{\mathrm{A}}$と$\mathrm{B}$チームが勝つ確率$P_{\mathrm{B}}$を求めよ．

(2)　前日の試合で$\mathrm{A}$チームが勝ったとき，今日の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率$P_{\mathrm{A}\mathrm{A}}$と，前日の試合で$\mathrm{B}$チームが勝ったとき，今日の試合で$\mathrm{B}$チームが勝つ確率$P_{\mathrm{B}\mathrm{B}}$を求めよ．

(3)　$4$回以内の試合で優勝が決まる確率を求めよ．

(4)　$5$回目の試合で優勝が決まったことがわかっている．このとき$\mathrm{A}$チームが優勝している確率を求めよ．

【５-４】　次の各問いに答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき，

$P(Z\geqq 1.53)=0.063\text{，}$$P(Z\geqq 1.96)=0.025\text{，}$$P(Z\geqq 2.32)=0.010$

である．

(1)　確率変数$X$が正規分布$N(m,{\sigma }^2)$に従うとき，${\displaystyle \frac{X-a}{b}}$は，標準正規分布$N(0,1)$に従うとする．また，確率変数$Y$が二項分布$B(n,p)$に従うとき，${\displaystyle \frac{Y-c}{d}}$は，$n$が十分大きいならば，近似的に標準正規分布$N(0,1)$に従うとする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を$m\text{，}$$\sigma \text{，}$$n\text{，}$$p$を用いて表せ．

(2)　確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$0\leqq x\leqq 2$で，その確率密度関数$f(x)$が次の式で与えられている．

$f(x)=k-|x-1|$

このとき，次の(a)，(b)に答えよ．

(a)　$k$の値を求めよ．

(b)　$X$の平均と標準偏差を求めよ．

(3)　ある工場で$1\mathrm{kg}$入りと表示する製品が生産されている．この製品の重さは，平均$1\mathrm{kg}\text{，}$標準偏差$50\mathrm{g}$の正規分布に従っているという．この工場より$1000$個の製品を仕入れた．この中に$902\mathrm{g}$以下の製品は何個あると推測されるか．

【１-２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は実数で，$a>0$とする．関数

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

について，次の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が極値をもつための条件を，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$が常に変曲点を持つことを示し，その変曲点を求めよ．

【２】　${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2$を中心とする$2$つの円が$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わっているとする．${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2$は線分$\mathrm{AB}$上にはないものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$は直線${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2$と直交していることを証明せよ．

(2)　点$\mathrm{B}$を通り線分${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2$と平行な直線$g$は，円$O_1$と接していないことを証明せよ．

【３】　次の各問いに答えよ．

(1)　$a>0$とする．項数$3$の$2$つの有限数列

$4,a,b$および$b,c,36$

はともに等比数列であり，

$a,b,c$

は等差数列とする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$に対し，数列$\{a_n\}$は$a_1=4\text{，}$$a_2=a$の等比数列とし，数列$\{b_n\}$は$b_1=4$を満たし，その階差数列が$\{a_n\}$に等しいとする．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．

(3)　初項を$p$とする数列$\{p_n\}$において，その階差数列が元の数列と等しいとする．このとき，この数列の一般項$p_n$を求めよ．