2007　鹿児島大学　AO数理情報科学科MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$2$次関数$y=x^2$のグラフを平行移動したグラフをもち，直線$y=x-2$と点$(2,0)$で接する$2$次関数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}4& x\\ -3& y\end{array}\right)$の逆行列は$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ x& -2y\end{array}\right)$と表されるとする．$x\text{，}$$y$を求めよ．ただし，$x>0$とする．また，このとき，$A^2\text{，}$$A^4$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された$x$の関数

$f(x)={\log }_2(\sqrt{3}\sin x+\cos x+6)$

の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　極座標$(r,\theta )$を使って$r(3+\cos \theta )=8$と表される図形の方程式を$(x,y)$座標で表せ．またどのような図形であるか図示せよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(5)　図の正方形で囲まれた領域を$x$軸の周りに$1$回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．

【２】　座標平面上に異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．原点を$\mathrm{O}$とおく．$2$つの条件

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

をみたせば，$\mathrm{▵ABC}$は正三角形であることを示せ．

【３】　時針,分針,秒針の$3$本の針が同一の軸につけられている時計において$12$時のところでこの$3$本が重なっている．次にこの$3$本の針が重なるのは$12$時間後であることを示せ．ただし，$3$本の針はそれぞれ，回転速度が一定であるとする．

【４】　$A\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人の間で，将棋の優勝者を以下の方法で決定する．

　$3$人は実力が拮抗しており．各対戦でどちらが勝つ確率も，すべて${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．

(1)　$\mathrm{A}$がいきなり$2$連勝して優勝する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$が第$1$試合で負けるものの，もう一度チャンスが回ってきて，$2$度目のチャンスで見事$2$連勝して優勝する確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が優勝する確率を，それぞれ求めよ．

【５】　$0$以上の整数$n$と$r$（ただし$r\leqq n\text{）}$に対し次のように定義する．

$n!=n(n-1)\cdots 2\cdot 1$$\text{（}n\geqq 1\text{)，}$$0!=1\text{，}$${}_{n}C_r={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!r!}}$

(1)　${}_{n}C_r$は$n$個のものから$r$個取り出す組み合わせの数であることを説明せよ．

(2)　${(a+b)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n}{}_{n}C_r{a}^r{b}^{n-r}$であることを組み合わせの考えを用いて説明せよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{r=0}^n}{}_{n}C_r=2^n\text{，}$${\displaystyle \sum _{r=0}^n}{(-1)}^r{}_{n}C_r=0$を示せ．

　$A$を集合$\{1,2,\cdots ,n\}$とする．$A$の部分集合$S$に対し，$\#(S)$で$S$の元の個数を表す．

(4)　$A$の部分集合の総数は$2^n$個であることを示せ．

(5)　次式を示せ．

${\displaystyle \sum _{S\in A}}{(-1)}^{＃(S)}=0$

ここで${\displaystyle \sum _{S\in A}}$は$A$のすべての部分集合$S$に関し足し合わせるという意味である．例えば，$A=\{1,2\}$のときは，

${\displaystyle \sum _{S\in A}}{(-1)}^{\#(S)}={(-1)}^{\#(\varphi )}+{(-1)}^{\#(\{1\})}+{(-1)}^{\#(\{2\})}$$+{(-1)}^{\#(\{1,2\})}$

となる．ここで，$\varphi$は空集合である．