2007　琉球大学　前期

【１】　曲線$y=e^x$と直線$y=ax+b$が交点をもたないような点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }(e^x-kx)=\infty$$\text{（}k$は定数）および$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を証明なしで用いてよい．

【２】　$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,1,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,2,1)$を頂点とする四面体$\mathrm{AOBC}$がある．

問１　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面に，点$\mathrm{A}$から垂線$\mathrm{AH}$を下す．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

問２　三角形$\mathrm{OBC}$の面積と四面体$\mathrm{AOBC}$の体積を求めよ．

問３　四面体$\mathrm{AOBC}$に外接する球，すなわち，$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る球面を考える．この球面の方程式を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

問１　直線$2x+y=0$に関する対称移動を表す行列を$S$とする．行列$S$および$S^2$を求めよ．

問２　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は単位行列ではないとする．この$A$が表す一次変換（移動）を$g$とする．この$g$によって点$(1,-2)$は点$(1,-2)$に移され，合成変換（合成移動）$g\circ g$は恒等変換となる．$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を$a$を用いて表せ．ここで，恒等変換とはすべての点を自分自身に移す変換（移動）である．

【４】　次の問いに答えよ．

問１　極方程式$r=2(\cos \theta +\sin \theta )$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi )$が表す曲線を直交座標平面上にかけ．

問２　問１で求めた曲線を$x$軸方向に$-1$だけ平行移動して得られる曲線を$C$とする．この曲線$C$と$x$軸によって囲まれる図形$D$の面積を求めよ．

問３　問２の図形$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【１】　放物線$C\text{：}y={(x-p)}^2+q$の頂点$\mathrm{P}$$(p,q)$が，放物線$y=-4x^2+12x$$\text{（}y\geqq 0\text{）}$上を動くとき，放物線$C$と$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}$$x=2$で囲まれた部分の面積の最大値と，そのときの$p$の値を求めよ．