2007　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2a,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,2a)$をとる．ただし$a>0$とする．

(1)　$2\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす点$\mathrm{P}$全体は，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面内に中心を持つ球面であることを示し，その中心の座標と半径をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　(1)の球面を$y$軸に垂直な平面で切った切り口が，$xy$平面とただ$1$点で交わる円となるとき，この円の中心の座標と半径をそれぞれ$a$を用いて表せ．

【２】　$n$を自然数とする．整数を係数に持つ$n$次の整式$f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$を考える．

(1)　$a_n=1$または$a_n=-1$とする．このとき，方程式$f(x)=0$が整数解$x=\alpha$を持つならば，$\alpha =1$または$\alpha =-1$であることを示せ．

　さて，$f(x)$の係数$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を以下のルールで決める：

表と裏の出る確率の等しい$2$枚のコインを用意し，それらを同時に投げる試行を$n$回行う．$k$回目$\text{（}k=1\text{，}\cdots \text{，}n$）の試行のとき，$2$枚とも表が出れば$a_k=1\text{，}$表と裏が出れば$a_k=0\text{，}2$枚とも裏が出れば$a_k=-1$とする．

　次に，整数を係数にもつ整式の範囲内で$f(x)$を完全に因数分解したときの因数の個数を$X$とする．例えば，$f(x)=x^2-1$のときは$f(x)=(x+1)(x-1)$となるので，$X=2$である．また，$f(x)=x^2+1$のときは係数が整数の範囲内で因数分解できないので，$X=1$である．ただし，$f(x)=x^3-x^2=x^2(x-1)$のように因数に重複があるときは重複分も数え，$X=3$とする．

(2)　$n=2$のとき，$X=2$となる確率を求めよ．

(3)　$n=3$のとき，$X=3$となる確率を求めよ．

【３】　$n$を$3$以上の整数とし，$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$とおく．また，$x$を$1\leqq x<n-1$を満たす実数とする．

(1)　不等式$\sin \alpha x-\sin \alpha (x+1)-\sin \alpha <0$を示せ．

　行列$X\text{，}Y$を

$X=\left(\begin{array}{cc}\sin \alpha x& \sin \alpha \\ 0& \sin \alpha (x+1)\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{cc}\sin \alpha (x+1)& 0\\ \sin \alpha & \sin \alpha x\end{array}\right)$

とおく．

(2)　行列$X+Y$は逆行列を持つことに示せ．

(3)　すべての実数$t$に対して，行列$tX+Y$は逆行列を持つことを示せ．

【４】　最小値が$0$である$2$次関数$f(x)$を考える．$4$点$(0,0)\text{，}(0,1)\text{，}(1,0)\text{，}(1,1)$を頂点とする正方形領域が，曲線$y=f(x)$により$3$つの領域$A$（原点を含む領域），$B$（点$(1,0)$を含む領域），$C\text{（}A\text{，}B$以外の領域）に分割されるとする．自然数$n$に対して，$A\text{，}B\text{，}C$の面積比が$1:1:n$になるような$f(x)$の$x^2$の係数を$a_n$とする．

(1)　$a_1$の値を求めよ．

(2)　$a_n$を用いて表せ．

(3)　$C$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積が$0.85\pi$より大きくなるような$n$の最小値を求めよ．