2007　横浜市立大　前期医学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とする．このとき，定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sin ((2n+1)\theta )\cos \theta d\theta$

の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)(ⅰ)　条件

$1\leqq a\leqq b\leqq 3\text{，}1\leqq a<c\leqq 3$

を満たす自然数の組$(a,b,c)$の個数を求めよ．

(ⅱ)　$n$を自然数とする．条件

$1\leqq a\leqq b\leqq n\text{，}1\leqq a<c\leqq n$

を満たす自然数の組$(a,b,c)$の個数を求めよ．

【２】　$\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)$の値を求めるために

$\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)=t$

とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$2\pi =360°$である．

(1)　$\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)$を$t$で表せ．

(2)　すべての実数$\theta$に対して

$\cos (5\theta )=P(\cos \theta )$

となる$5$次の多項式$P(x)$を一つ求めよ．

(3)　$t$の値を求めよ．

【３】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

の成分$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$はすべて正の実数とする．実数$t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$に対し，ベクトル$\overrightarrow{v_t}$を

$\overrightarrow{v_t}=\left(\begin{array}{c}t\\ 1-t\end{array}\right)$

とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　区間$[0,1]$に値をとる連続関数$f(t)$と正の値をとる連続関数$\lambda (t)$で

$A\overrightarrow{v_t}=\lambda (t)\overrightarrow{v_{f(t)}}\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

を満たすものを求めよ．

(2)　$A\overrightarrow{v_{t_0}}=\lambda (t_0)\overrightarrow{v_{t_0}}$を満たす$t_0\text{（}0\leqq t_0\leqq 1\text{）}$が存在することを示せ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)$が，$A\overrightarrow{w}=\lambda (t_0)\overrightarrow{w}$を満たすとする．このとき，$\overrightarrow{w}$は$\overrightarrow{v_{t_0}}$の実数倍になっていることを示せ．

【４】　座標平面上で曲線$C:y=\sqrt{x}\text{（}x>0\text{）}$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$(a,b)\text{（}a>0\text{）}$を与えたとき，この点を通る曲線$C$の接線が存在するための$a\text{，}b$が満たすべき条件を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{5}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$から曲線$C$上の点$(t,\sqrt{t})$における接線への垂線の長さ$L(t)$を求めよ．

(3)　関数$L(t)\text{（}t>0\text{）}$の最小値を求めよ．